CAS OU IL EXISTE LN SEUL TUBE DE TOUHBILLO.NS

anneaux d'une chaîne. L'intégrale J prise le long des premières courbes est nulle ; mais, prise le long des courbes de la seconde espèce, elle est égale non plus à o, mais au moment du tube.

La section du tube étant infiniment petite, ce tube peut être assimilé à une courbe que je supposerai fermée et que j'appellerai l'axe du tube. En effet, nous pouvons faire passer par l'axe du tube tourbillonnaire une certaine surface et prendre comme coupure l'aire limitée sur cette surface par l'axe du tube. Toutes les courbes fermées qui ne traverseront pas celte aire seront de première espèce ; celles qui lu traversent seront de seconde espèce [30].

45. Supposons que la fonction » soit nulle à l'infini, ce qui est permis puisque cette fonction n'est donnée que par ses dérivées et n'est, parconséquent, déterminée qu'à une constante près. Pour définir la valeur de © en un point donné P, nous prendrons l'intégrale J le long d'une courbe joign;int un point infiniment éloigné au point P considéré, sans traverser la coupure. Cette définition n'est évidemment suffisante que si la fonction cp est uniforme et, par conséquent, si la valeur ainsi calculée ne dépend pas du chemin suivi pour venir de l'infini au point P. Or cette condition est remplie. En eflet, considérons deux chemins quelconques, MQP, MRP, joignant un point M très éloigné au point P. Le long du contour fermé MQPR.M, qui ne traverse pas la coupure, l'intégrale J est nulle, donc:

fdf -f- f(h = o

^ MOP J PRM

Idz) = Idxi = »p

La valeur de cp ainsi calculée en un point M dépend de la surface choisie comme coupure; elle est la même pour deux coupures qui ne comprennent pas entre elles le point M, mais elle est différente si le point M se trouve entre les deux surfaces choisies successivement comme coupures.

Il faut maintenant déterminer cette valeur de ^. Soit i^. le moment du tube lourbillonnaire :

dm étant la section droite du tube, que nous avons supposée infiniment petite. Si nous remplaçons les tourbillons (ç, y], Ç) par des courants (i<, v, w), chacune des composantes du courant est égale à la composante correspondante du tourbillon divisée par Stt. L'intensité du courant, comptée langentiellement au tube lourbillonnaire, sera :

i = sju^ ~i~ ^^ "1" ^'-^'diii.

Par conséquent :

Si on détermine la valeur de i d'après cette égalité, la force magnétique et la vitesse d'une molécule fluide en un point seront représentées par le même vecteur. La fonction des vitesses sera le potentiel magnétique du courant. En un point donné, ce potentiel a, comme on le sait, pour expression

0 étant l'angle solide sous lequel on voit de ce point le contour du courant. (Cf. Electricité et optique, tome I, page 107.) Par

CAS d'un tube TOUKBILLONNAIRK RECTILIGNE ET INDÉFINI 53

suite :

s étant l'angle solide sous lequel on voit du point considéré l'axe du tube tourbillonnaire.

S'il y avait plusieurs tubes lourbillonnuires, la fonction tp relative au système serait la somme des fonctions cp^, cpa ... etc., relatives à chacun d'eux, et la même relation subsisterait.

46. Cas d'un tube tourbillonnaire rectiligne et indéfini. — Soit un tube tourbillonnaire rectiligne.

Appliquons la règle précédente. Nous devons remplacer le tube par un courant rectiligne indéfini, possédant une intensité:

D'après la loi de Biot et Savart, l'action de ce courant sur un pôle magnétique M est perpendiculaire au plan MPQ et inversement proportionnelle à la distance ?• du point M à la droite PQ. La vitesse d'une molécule fluide M sera donc perpendiculaire au plan MPQ et variera en raison inverse de sa distance à l'axe du tube tourbillonnaire.

47. Ce résultat peut d'ailleurs s'obtenir directement, sans l'intermédiaire de la comparaison électrodynamique.

Par raison de symétrie, la vitesse doit se trouver dans le plan R mené par M perpendiculairement à PQ. Si, d'autre part, nous considérons le plan PMQ, ce n'est pas, à proprement parler, un plan de symétrie. En efTet, prenons pour plan de la

figure le plan R [fig. 15) : la droite Pcp se projette sur ce plan en N. MN est la trace du plan PMQ. Supposons que le tourbillon ait le sens indiqué par la tlèche et que la vitesse soit

dirigée suivant MV.

^ Prenons l'image de la figure

'^ \ par rapport à MN ; le moment du

tube tourbillonnaire conserve la même valeur, mais le tourbillon change de sens. La vitesse conservera donc sa grandeur absolue Fig. 15. et sa direction, mais changera de

sens ; elle devient MV. Gomme MV doit être symétrique de M V par rapport à MN, il faut que MV soit perpendiculaire à MN et, par conse'quent, au plan MPQ, puisque nous savons que MV est situe' dans le plan R.

48. Pour trouver la grandeur de la vitesse, rappelons que : J = / {udx ■\- vdy -|- todz) = a.

Choisissons comme contour d'intégration le cercle décrit de N comme centre avec MN comme rayon, dans le plan perpendiculaire à PQ ; prenons PQ comme axe des z, le point N comme origine, comme axes des x et des y deux diamètres rectangulaires du cercle. Dans ce système d'axes:

X ■=■ ç cos 0) y = p sin id

dx = — p sin (3id(ji dy ■= p cos u)C?a> dz =: o

u = — V sin to, V = V cos to, w = o.