DÉMONSTRATION DIRECTE

D'où

[X = fpV (sin3 w -j- cos2 w) rfu) = 27rpV

Cette vitesse est donc inversement proportionnelle ù la distance MN = p, comme nous l'avons trouvé par une autre méthode.

49. Démonstration directe. — Il n'est pas indispensable, pour obtenir l'expression de la fonction a-, d'avoir recours à la comparaison entre les équations hydrodynamiques et les équations électrodynamiques, comme nous l'avons fait; celte expression peut s'obtenir directement comme je vais le montrer.

Pour abréger, nous dirons que la fonction cp est engendrée par un contour G quand elle est due à un tube tourbillonnaire dont ce contour G est l'axe, et nous conviendrons de prendre un tubetourbillonnaire dont le moment soit égal à 1. Ce choix d'unité n'enlèvera rien évidemment à la généralité de notre démonstration. Je vais d'abord établir quelques théorèmes qui nous seront nécessaires pour trouver l'expression de la fonction cp.

50. Théorème I. — Considérons une courbe fermée ABCD {fig. 16) ; joignons deux points de cette courbe, B, D, par un chemin quelconque BED. Nous formons ainsi deux contours partiels, ABEG, BGDE, et un contour total, ABCD. Admettons

Fig. 16.

que ces contours forment les axes de trois tubes tourbillonnaires T', T" et T. Chacun des contours engendre une fonction cp. Soient cp', 'if' et cp les fonctions correspondant respectivement à T'. T" et T. Je disque:

a> = <p -j- cp .

En effet, par les trois courbes nous pouvons faire passer une certaine surface, laquelle détermine deux coupures. La fonction cp admet les deux coupures ; cp' n'admet que la coupure (1), et cp" la coupure (2). Pour établir le théorème, il suffit de montrer qu'on a identiquement :

^ — çp' — cp" =^ o.

Cette fonction vérifie l'équation de Laplace

^ (tp — <f' — «f") = 0, puisque :

A^ = Acp' = Acp" = o ;

elle s'annule à l'infini, de même que les fonctions partielles cp, tp', cp". Il est permis de lui appliquer le théorème de Green [34], si elle est uniforme, c'est-à-dire si l'intégrale

mcp — /rfcp' — /c/cp" = o

le long d'un contour fermé quelconque. Supposons que la courbe d'intégration soit de première sorte, c'est-à-dire ne rencontre aucune coupure; alors les trois intégrales partielles sont nulles. Si la courbe franchit la coupure (1) seulement, r^cp est égal au moment du tube T, c'est-à-dire à l par hypothèse, fe' est égal au moment du tube T, qui est aussi 1.

DÉMONSTRATION niRECTF. 37

/rfcp" est nul. L'équation est encore vérifiée ; on rétablirait de

la même manière si la courbe d'intégration rencontrait seulement la coupure (2).

D'ailleurs un contour fermé quelconque peut toujours être remplacé par une série de contours dont chacun ne rencontre qu'une seule coupure [fig. 17). Ainsi le contour MNPQ, qui rencontre les deux coupures, peut être remplacé par MNRQM, qui ne rencontre que la première coupure, et NPQRN, qui ne rencontre que la deuxième. En effet parcourir ces deux contours revient à parcourir le contour primitif dans un sens déterminé, et l'arc NRQ une

fois dans un sens et une fois dans l'autre ; cet arc disparaît dans le résultat. Par conséquent, le long d'un contour quelconque :

/rftp — xd-i/ — /c?<f-" = 0

La fonction cp — ^' — <p" est uniforme et par conséquent, d'après le théorème de Green, identiquement nulle.

51. Théorème II. — La fonction <p engendrée par un contour plan G est nulle en tout point du plan.

Soit G le contour {fig. 18) ; représentons la direction du tourbillon par une flèche, prenons la figure symétrique par

Fig. 18.