Théorème III

rapport au plan du contour, cp ne doit pas changer. Le point M, qui appartient au plan de symétrie, nectiangepas; le moment du tube conserve la même valeur absolue, mais change de signe, car le mouvement du tourbillon change de sens. La fonction © doit à la fois ne pas changer et modifler son origine : elle ne peut être que nulle. Supposons qu'un contour C soit tracé sur la surface d'un cône ayant son sommet en M {ftg. 19). On peut tracer sur la surface du cône deux espèces de courbes: les unes, hmitant une aire dans laquelle ne se trouve pas le sommet ; les autres faisant le tour du cône et limitant une aire qui comprend le sommet.

a. Pour les courbes de la première espèce, la fonction cp est nulle au point M. En effet, on peut décomposer C en contours infiniment petits, dont chacun peut être assimilé à un élément plan situé dans le plan tangent au cône : comme tous ces plans tangents passent par le sommet M du cône, la fonction cp engendrée par chacun d'eux est nulle. La fonction ç engendrée parle contour entier G étant la somme des fonctions élémentaires [50] sera nulle aussi.

b. Soient maintenant deux courbes de seconde espèce ABGD et A'B'C'D' [fig. 20).

Fig. 19.

COISTOUR INFINIMENT PETIT S9

Je dis que les fonctions cp engendrées par ces deux courbes ont même valeur au point M.

Joignons, en effet, un point B de la première courbe à un point B' de la seconde, par la génératrice BB' par exemple ; joignons de même DD'. Je puis remplacer le contour ABCD parles conloursA'B CD, ABB'A'D DA. CDD'G'B'BG. En dé<ri- , vaut, en effet, successivement ces trois contours dans le sens indiqué par la succession des lettres, je parcourrai chacun des arcs deux fois en sens contraire, sauf ABCD. Or les fonctions z, engendrées par les deux derniers contours sont nulles d'après la première partie du théorème (a) ; doncles fonctions engendrées par les courbes ABCD et A'BC'D', qui ont même perspective au point M, ont la même valeur en ce point.

53. Contour infiniment petit. Forme delà fonction ce. — Supposons que le contour soit infiniment petit. La fonction cp, a priori, peut dépendre de la distance r du point M à la surface élémentaire limitée par le contour; de l'angle '^ que fait la droite qui joint le point M au centre de gravité de l'élément avec cet élément; de l'aire de cet élément et enfin de sa forme. Autrement dit, cp peut dépendre de r, de -J/, de l'angle solide et de la forme du cône qui a pour directrice le contour et pour sommet le point M.

Je dis d'abord que co ne peut dépendre de la forme de ce cône. En effet, cette aire infiniment petite du premier ordre peut élre décomposée en carrés qui seront infiniment petits du second ordre; tous ces carrés ont même forme, l'angle 'l a même valeur pour chacun d'eux, à des infiniment petits près d'ordre supérieur. En outre, on peut rendre leur nombre assez grand pour que leur ensemble diffère aussi peu

qu'on voudra de l'aire considérée, quelle que soit sa forme. La valeur de (f engendrée par le contour total sera la somme des fonctions cp relatives à chacun des carrés; mais, comme ces fonctions sont les mêmes pour chaque carré, puisque r ei ^ sont les mêmes, et que les carrés ont même forme, la fonction totale tp sera proportionnelle au nombre des carrés, c'est-à-dire à Taire limitée par le contour, et sera indépendante de sa forme. Par conséquent, nous pouvons poser:

? = daf (r, ^)

d<s étant l'angle solide du cône, et /'une fonction qu'il nous faut déterminer.

de a même valeur tout le long du cône; d'autre part, deux courbes fermées G et C, tracées sur le cône, doivent engendrer la même fonction cp ; mais pour ces deux courbes r et t]/ peuvent être quelconques ; il faut donc que :

/"(r, <\') = const = A.

54. S'il s'agit d'une courbe fermée finie, nous la décomposerons en courbes élémentaires; pour chacune d'elles ^ sera proportionnel à l'angle so\'\ded<s. Pour l'ensemble, on aura:

çp = Ad

«étant l'angle solide total.

Pour déterminer A, supposons que le point M décrive un contour fermé quelconque, il viendra:

I d(f = A. I da,

LIQUIDE REMPLISSANT UN VASE SIMPLEMENT CONNEXE 61 en appelant ix le moment du tube tourbillonnaire :

D'autre part :

d'où

/ dv = a.

/rf, = 4,, [x = 471 A,

55. Liquide remplissant complètement un vase simplement connexe. — Nous nous proposons de déterminer u, y, PJ d'après les éi[uali<jns

correspondant en électrodynamique aux équations

Dans le cas d'un liquide remplissant un vase simplement connexe, il faut que la composante de la vitesse, normale à la paroi, soit nulle en tout point de cette paroi. Si on appelle

l, m, n les cosinus directeurs de la normale, cette condition s'écrira

lu -f- ))iv -\- mo = o.

Pour obtenir le cas qui correspond à celui-là en électrodynamique, il faut supposer que des courants régnent dans l'intérieur de la surface S delà paroi, et que tout l'espaceextérieur est occupé par un conducteur parfait. Si on part du repos et que les courants intérieurs augmentent progressivement, il se produira des courants d'induction dans l'espace extérieur. Lorsque le régime permanent est établi, la force électromotrice d'induction disparaît; mais les courants d'induction subsisteront, si le milieu extérieur est un conducteur parfait, c'est-à-dire présente une résistance nulle. En faisant celte hypothèse, le problème d'électrodynamique se confond avec celui de Helmholtz.

En effet, soit un circuit fermé, N le flux de force magnétique qui le traverse, la force électromotrice d'induction est

-T-» et d'après la loi de Ohm :

Ti '-^ ^'-

Si nous supposons le conducteur parfait, R = o, et par suite :

-— = 0 N = const.

dt

Si nous partons du repos, N = o au début et reste constamment nul, aucune ligne de force ne traversera la surface S, c'est-à-dire que la composante de la force magnétique normale à cette surface est nulle.

CVS PARTICULIER 63

56. Cas particulier. — La vitesse est parallèle au plan des xy et ne dépend que de x et de y, alors :

da dv dz dz

En supposant que ces conditions soient remplies à l'origine des temps, elles le seront toujours : 1» si le liquide est indéfini, parce que tout plan parallèle au plan des xy est un plan de symétrie ; 2° si le liquide remplit un cylindre parallèle à oz, indéfini dans les deux sens. Il en sera de même encore si ce cylindre est limité par deux plans perpendiculaires à l'axe des z. En effet, quand on introduit une cloison dans le liquide, on impose en général au mouvement une condition de plus, à savoir: que la composante delà vitesse normale à la cloison soit nulle en chaque point de celle-ci. Mais, dans le cas qui nous occupe, cette condition était remplie avant qu'on ne mette la cloison et l'existence de cette cloison ne modifie pas le mouvement.