D'après les hypothèses que nous avons faites
(6) 2ïi = -——=: 0
vZ cX
V eu
ex C l
et l'équation de continuité se réduit à :
Tous les tourbillons sont parallèles à o^, tous les tubes tourbillonnaires sont des cylindres ayant o^pour axe.
Suivons un de ces tubes dans son mouvement : je dis que sa section droite demeure constante.
Considérons en effet une portion du liquide limitée par la surface du tube tourbillonnaire et par deux sections droites distantes de h.
Si nous appelons w Taire de cette section droite, le volume du liquide est hw.
Le liquide étant incompressible, ce volume reste constant. D'autre part, le tube de tourbillon se conservant, le volume reste cylindrique. Une molécule qui, à l'origine des temps, est située dans une section droite du tube, y restera toujours, puisque sa vitesse est située dans ce plan : les deux sections qui limitent le cylindre resteront toujours à la même distance. Puisque lnà et A sont constants, il s'ensuit que w est constant.
Si, en particulier, nous considérons un tube tourbillonnaire de section infiniment petite do), son moment jx est donné par :
}i = 2dw.'C, dix> doit être constant ; \i. aussi ; donc Ç est constant et :
dX, , K ■ I' 1 ^
— et non — > car nous suivons une molécule dans son mou-
dt ot
vement, c'est-à-dire (jue nous adoptons les variables de
Lagrange).
58. Le cas que nous venons de traiter est celui que Helmholtz appelle le cas des tourbillons rectilignes :
Supposons, en particulier, que nous ayons un tube tourbillonnaire dont la section par le plan des xy soit un cercle de rayon H, à l'intérieur de ce cercle \ = const ; à l'extérieur, C = o, et il y a une fonction des vitesses. Prenons comme origine le centre du cercle.
Soit M un point quelconque [fig. 21).
Posons :
OM = p = sjx-^ 4- y\
Fig. 21.
Par raison de symétrie, la vitesse V du point M est perpendiculaire au rayon vecteur OM :
et V ne dépend que de p. Prenons l'intégrale
J = f{udx -f vdy) =:Jh^d„
le long de la circonférence décrite de o comme centre avec le rayon OM = p : / ndx -{- vdy représente le travail que produirait sur un point matériel décrivant la circonférence une force représentée par le vecteur (u, y, ïv) qui est la vitesse; ce vecteur a une grandeur constante et est dirigé en tous les points suivant la tangente à la circonférence, par conséquent :
j{udx -f vdy) = 27cp V.
THÉORIE DES I0UBBILL0N3.
Nous obtiendrons une autre expression de J au moyen de
l'intégrale / '^^cIm étendue à toute la surface du cercle OM.
Deux cas sont à distinguer:
1° Le point M peut être à l'intérieur du cercle de rayon R (p < R); !; est alors constant à l'intérieur du cercle p et
J = 7:Çp2 = 27rpV.
2° Le point M est à l'extérieur du cercle R (p > R) ; Ç est constant à l'intérieur du cercle R et nul en dehors, donc :
J = 27r!;R2 = 27:pV.
Nous déduirons de là que :
V=:Cp
si p est plus petit que R,
si p est plus grand que R.
Dans ce dernier cas, remarquons que le moment du tube tourbillonnaire est égal à :
SttCR' = ^Trm,
en posant:
et V prend la forme
Cette formule subsistera si R devient très petit, mais C très grand de façon que m reste fini.
59. Ce résultai [)eut être comparé à d'autres résultais de trois ordres différents.
1' Comparaison élecl7'odynamique . — Nous avons vu que la vitesse d'une molécule était représentée par le même vecteur que la force magnétique produite d'après la loi de Biot et Laplace par un courant qui parcourait le tube de tourbillons [45].
60. 2' Co/nparaison analytique. — En dehors du tube Ç = o : d'après cette condition et d'après l'équation de continuité (2) [57] :
Ces équations expriment que v -\- \ — i m est une fonction
iu
Sm
Oy
de X -{- y sj — 1. Ce qu'il est aisé de vérifier dans le cas actuel. En effet :
W 4-2/- x^ ■\- y-J a; -f \/— iy
Posons ;
et nous pourrons écrire :
(9) y -I- sj^^i u = f[l^=^
61. S'il y a plusieurs tubes tourbillonnaires, le plan des xy coupe chacun d'eux suivant un cercle infiniment petit qu'on peut confondre avec les points a^, a^, a„ coïncidant avec leur centre. Soient 27r»<,, 'i-Kin.^ 27:??i„ les
moments de ces tubes ; si «, , a^ ont pour coordonnées a|, a'[^ «2) c-li ces points seront les affixes des quantités imaginaires :
Pour obtenir la valeur de v-\-^ — Vu correspondant au premier tube a^, il suffira de prendre la formule (9) en transportant l'origine au point a,, de même pour les autres tubes
la valeur totale de v -|- V — 1 ^ sera la somme des valeurs partielles ainsi obtenues :
^^ Z — a.^Z — ap^^Z—ar, ZuZ — a^
Celte expression est la dérivée de la fonction :
e(Z) = ynî, log(Z — «0-
Soit M le point qui est Taftixe de Z, p^ la distance Mrt^, ou le module de Z — a^. De même pj =: Ma^^ ... p„ = Ma„. Soit ^ù^ l'argument de Z — a, ; c'est l'angle que fait Ma^ avec 0^7... etc.
0 (Z) = ^mu log pk + V^ ^Wktok ou en posant :
(10) 'l = ^»?k log pv
(11) <p = ^mkWk
Différentions cette identité par rapport à*Z, en remarquant
que
)'où,
en
identifiant :
oy
D'après les relations (14), on voit que «p est la fonction des vitesses.
62. 3° Comparaison électrostatique. — Supposons que de rélectricité soit distribuée uniformément sur une droite indéfinie : l'attraction de cette droite éleclrisée sur un point extérieur est en raison inverse de la distance.
Remplaçons le tube lourbillonnaire par une distribution d'électricité uniforme sur son axe. L'attraction sur un point M serait dirigée suivant la normale menée de M à l'axe.
La vitesse serait représentée par le même vecteur qu'on aurait fait tourner de 90 degrés. S'il y a plusieurs tubes, on fera la" même transformation : on composera les attractions partielles, et la vitesse résultante sera représentée par la résultante de ces attractions quand on l'aura [^fait tourner de 90 degrés.
On arriverait au même résultat en supposant que les
points «,, ^2, ... a^ agissent sur le point M en raison inverse de la distance.
Si nous considérons des tubes tourbillonnaires distribués d'une manière quelconque et un point M très éloigné, la distance étant infiniment grande du premier ordre, l'attraction (ou la vitesse) sera infiniment petite du premier ordre.
63. Les courbes a- = const, c'est-à-dire suivant lesquelles l'argument de e^ (^^ est constant, sont les lignes qui sont normales à la vitesse en chacun de leurs points. En effet, pour ces courbes:
rfcp = udx -f- vdy = o.
Les courbes J/ = const, c'est-à-dire le long desquelles la partie réelle de 6 (Z) ouïe module de e^^^-* sont constants, sont les lignes de courant. Le long de ces courbes, en effet :
vdx — udy = o,
ou
dx d7/
En électrodynamique, les équations cp = const représentent les lignes équipotentielles, et les équations ■]/ = const, les lignes de force ; c'est l'inverse en électrostatique.
Ces deux systèmes de courbes se coupent à angle droit.
— S'il y a seulement deux tubes tourbillonnaires a^ et a.,, ô (Z) ne renferme que deux termes :
6 (Z) = m^ log (Z — a<) -f- mg log (Z — ^3).
CAS PARTICULIER DE DEUX TUBES TOURBILLONNAIRES 71 L'équation des lignes do courant sera :
m^ log p, -f m.-, log p.^ = const.
Si m^ = m^, l'équation devient
p^p.■, = const.
Les lignes de courant sont des ovales de Cassini. Si m^ = — m^, les lignes de courant repre'sentées par l'équation
^ = const
sont des circonférences par rapport auxquelles les points a^ et a^ sont conjugués.
