ÉQUATION DE CONTINUITÉ

face continue So, leurs coordonnées pourront s'exprimer par :

X, = /o (a, p), yo = n {^, p). ^0 = n (^, P)

/'oi/'o' /"o étant des fonctions continues des paramètres (a, p). A l'époque t, les coordonnées deviennent x, y, z, qui sont fonctions continues de x^,, y^, z^ et par conséquent de (a, p). Donc :

a^=/-(x,p) .y = r(oc, p) .- = r(oc,B)

/", /", /" étant des fonctions continues ; ces équations représentent encore, par conséquent, une surface S continue.

3. Equation de continuité. — Considérons un élément de surface c^w, et cherchons à évaluer la quantité de fluide qui traverse cet élément pendant le temps dt. Les molécules qui ont traversé l'élément cU à l'époque t occupent au temps t-^dtnn élément de surface c/w', infiniment voisin de d>ù ; en particulier, celle qui se trouvait au centre de gravité G de f/co est venue en G' ; celles qui traversent diù à l'époque t + dt occupent cet élément lui-même. Enfin, celles qui ont traversé dio entre les deux époques;! et ^-p., t -\- dtsQ trouveront dans des positions intermédiaires.

En résumé, toutes les molécules qui ont passé par rfo) pendant le temps dt se trouvent à l'instant ~^ ^ t -\- dt dans un volume assimilable à un cylindre ayant pour base l'élément c?w, et dont les génératrices sont parallèles à GG' [fig. 1). D'ailleurs GG' = ^dt, V étant la vitesse du fluide à l'instant considéré. La hauteur de ce cylindre est la projection de GG' sur la normale à diù\ soit : ^dt. cos(G'GN) = V„6?«.

La quantité de fluide qui a traversé dm pendant le temps dt est donc :

fVndlù.dt.

Considérons maintenant un parallélipipède rectangle, dont

les arêtes sont respectivement parallèles

[^\~ N,^^^ aux axes de coordonnées et égales à dx,

I |°| 1^ dy^dz [fig. 2). D'après ce qui précède, la cL..,J. ic

x^^ "■•. masse de fluide qui traverse pendant le

0 temps dt la face ABGD perpendiculaire

Fig. 2.

à Ox est égale à :

^udydzdt ; celle qui traverse la face opposée :

( pî-( -|- r^ \ dydzdt.

Il est donc entré dans le parallélipipède, par ces deux faces, une masse de fluide égale à :

— -r'^ dxdydzdl.

En faisant le même calcul pour les deux autres couples de faces, on trouve que la masse totale du fluide qui est entrée dans le parallélipipède pendant le temps dt est égale à :

D'autre part, l'accroissement de la masse ^dxdydz du fluide contenu dans le parallélipipède pendant le temps dt, est :

■i^-dxdydzdt,