THÉORÈME DE LA CONSERVATION DU CENTRE DE GRAVITÉ
dimensions finies, on définirait Xo, yo-, d'une manière analogue.
Xq j^^dbi = \kxX,diù
etc.,
les intégrales étant étendues à tous les éléments rfo) dés sections des difl'érents tubes.
Différenlionspar rapport à t : puisque nous avons assujetti les moments des tubes à demeurer constant?, l et w ne dépendent pas de i [57], et:
<" '-If-P- = /l^<^" =J"'"-
Je veux établir que cette dernière intégrale est nulle. Pour cela, je considère l'intégrale :
J[[yr. i;2) d^ ^ tuvdy]
prise tout le long d'un cercle de rayon très grand. Celte intégrale est nulle. En effet, pour R très grand, u et v sont infiniment petits du premier ordre [62] ; w^, v^, uv sont infiniment petits du second ordre ; le chemin d'intégration est bien infiniment grand, mais du premier ordre seulement; l'intégrale est donc négligeable.
D'autre part, transformons cette intégrale d'après la formule (1) du§ 8:
J |(M- — U-) dx 4- ^2uvdyi = doi — ^ -^'-
EÉFectuons les différentiations ;
^y ()x " ^y " ti?/ " 'bx " ^x
\t)a; "^ 7!iy) \èx '^yj
Mais, d'après l'équation de continuité, nous avons
et, d'autre part, par définition :
/Iv ^u\ \l>x 7>yJ - -'••
Donc :
j[{u'^ — v^) dx -\- 'ïuvdy\ = — 4 \uX,d^.
La première intégrale étant nulle, la seconde Test aussi ; donc :
dx^
De même on démontrerait que :
dt '
et par suite que le point G est fixe.
66. Mouvement du centre de gravité d'un tube tourbillonnaire. — Je vais étudier maintenant le mouvement du centre de srravité de l'un de ces tubes tourbillonnaires. Nous
MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ D UN TUBE 75 avons :
Posons :
ti = u'-{~ «",
u' étant la vitesse due au tube considéré s'il existait seul, u" la vitesse due aux autres.
iu^doi = juXdoi -\- ju'Xdui.
L'intégrale iiXdai est nulle, car, si le premier tube existait
seul, son centre de gravité serait fixe.
Par conséquent, si nous voulons déterminer la vitesse du centre de gravité de l'un des tubes tourbillonnaires, il suffira de tenir compte des vitesses communiquées par les autres tourbillons.
67. Soient a,, a^, ..., «;, les tubes tourbillonnaires. Posons: p,2 = a^a2
Pl3 = «1«3'
et d'une manière générale
Considérons la fonction :
(2) P = ^m.WA-logp/.A. F est une fooction des 2m coordonnées x^y^, ,a;„j/„.
Il faut déterminer -77 et -~^\ nous venons de voir que la dt dt ^
vitesse du point iv^, y^ sera la même que si le tube a^ étai supprimé et ei les autres tubes subsistaient seuls; nous aurons donc, d'après les équations (13) [61] :
dX:^
dt
dt
OÙ
Je dis que ces formules équivalent aux suivantes
dx, ?P.
^ dt ^y^
dy. ?P
^ dt ^x.
En effet, P peut s'écrire :
P — m^ ^Wk log p,A- -f ^minik log p,,^-,
aucun des indices i et k dans le Fécond ternie n'étant égal à 1 D'autre part, les p affectés de l'indice 1 sont les seuls qui. dépendent de x^ et y^, donc:
i)p lJ^B±hëhjù ii
ùx^ ^ ox^ àx^
de même
