INTÉGRATION DES ÉQUATIONS
68. D une manière générale, nous obtiendrons donc les équations suivantes :
dl oyk
Sous celle forme on reconnaît les équations canoniques d'Hamilton au facteur tn^ près; pour les ramener exactement à la forme canonique, il suffirait de prendre comme variables :
a?,, x^, ..., a;,, et w,y,, mo^/g, ..., w„y„.
69. Intégration des équations. — Lintégration des équations (Ij est possible quand il existe seulement trois tubes tourbillonnaires, comme nous allons le montrer.
70. Théorème. — Nous pouvons retrouver d abord le théorème de la conservation du centre de gravité. En effet, la fonction P dépend seulement des distances p et seulement, par conséquent, des différences a;, — x^, •••» ^i — ^ai •••' ^^^- ^^^^ '
soit :
= 0 ou
ZJ'"^ dt
^^n^CCA:
= const.
De même :
^Wa-^a
= const.
Le centre de gravité du système reste donc fixe.
71. Théorème des forces vives. — Multiplions les deux membres des équations (I) respectivement par dx/^ dy^', opérons de même sur toutes les équations analogues et ajoutons, il vient:
> , -j — dx/, 4- V "y — dvk = o, ji^ dxh —J dyu
ou :
Donc :
(4) P = const.
Cette relation exprime le théorème des forces vives. Ceci ne s'aperçoit pas immédiatement, et nous avons à lever plusieurs difficultés. D'après nos hypothèses, en effet, la force vive serait infinie, pour trois raisons:
1° Le liquide est indéfini dans tous les sens. Mais nous avons vu qu'en introduisant deux cloisons planes solides, perpendiculaires à l'axe 0^, on ne modifie pas le mouvement. Nous pouvons donc nous borner à considérer le liquide compris entre ces deux plans.
2» Même avec celte restriction, la force vive serait encore infinie, puisque le liquide s'étend indéfiniment dans le plan des xy. Les composantes u et ■g de la vitesse tendent vers o, quand on s'éloigne indéfiniment, sur une circonférence dont le rayon R est regardé comme un infiniment grand du premier ordre; u et V sont infiniment petits du premier ordre [62] : la force vive élémentaire serait infiniment petite du second ordre, mais la surface du cercleétant un infiniment grand du second ordre, la force vive totale serait infinie. En appelant SttM la somme des moments de tous les tubes tourbillon-
THKOHK.ME DES FUKCES VIVKS 79
nuire», lu vitesse sur lu circonférence de ruyon R u [xmr valeur:
aux infiniment petits près du second ordre.
Supposons que M soit nul : alors la vitesse {u, v) est infiniment petite du second ordre ; la force vive élémentaire est du quatrième ordre, et la force vive totale sera finie ;
3° Ceci suppose encore que les tubes tourbillunnaires ne sont pas infiniment déliés ; sans quoi la vitesse au voisinage de ces tubes serait infiniment grande du premier ordre et la force vive infiniment grande du second.
72, Nous admettrons que la force vive est finie. Il suffit pour cela, comme nous venons de le voir : 1" que le liquide soit limité par deux plans parallèles perpendiculaires à 02 ; 2° que la somme des moments de tous les tubes soit nulle ; 3° que les tubes aient une section finie.
Considérons deux petits éléments de surface du) et t/w' correspondant aux valeurs ^ et Ç' du tourbillon. Soient 2r,dm, 1-Kdnx les moments des tubes élémentaires limités à ces éléments;
2Ct/w — Ir.dm %'d,o' — iTxhn.
Le terme de P correspondant à ces éléments sera:
dmdm log û
en appelant p la distance des deux éléments, et :
/ / dmdm' log p ,
