THÉORKME DES FORGES VIVES

Considérons l'intégrale :

(7) J{vd7/ + udx) -]/

Prise le long d'un cercle de rayon très grand, cette intégrale est nulle, puisque nous avons supposé [72] que la somme algébrique des moments de tous les tubes est nulle ; il arrive alors que w et u sont du second ordre, la longueur de la circonférence étant infiniment grande du premier ordre seulement. Transformons-la par le théorème de Stokes:

d {<\>v) d {<\iu dx dy

-\ do) = o.

ou en effectuant les différentiations

j ^ (£ - li) ^" + j (" £-"!;) ^''^ = "•

g dv du

dx dy

Donc : •

47lP + Au^ -{- m2) rfo)

P représente donc, à un facteur constant près, la force vive / m'^ -\- ic^) doi et par conséquent cette force vive est

constante.

75. Théorème. — Le moment d'inertie des masses m par rapport à l'axe Oz est une constante.

Imprimons à tout le système une rotation infiniment petite e autour de l'axe des z. En négligeant les infiniment petits du second ordre, les coordonnées ocietr/i deviennent:

P, qui ne dépend [71] que des distances p,;t, nw changera pas.

Ecrivons donc que d? = o, il viendra :

S^ ( dV dP\

Dans la comparaison électrostatique, cette équation signifie

que la somme des moments des attractions qu'exercent l'une

sur l'autre les droites électrisées, prise par rapporta l'axe des^,

est nulle. Ceci est évident puisque les attractions sont deux à

deux égales et de signes contraires.

c/P c/P dx

Si nous remplaçons ^ et -r— par leurs valeurs m,- -~ et

dVi — m, -f-> on trouve :

ou en intégrant :

(9) ^ mi (a;? + î/?) = const.