THÉORÈME DES FOUCES VIVES
76. TaiiouÈME. — La somme des moments des quantités do mouvement par rapport à l'axe des z est constante. Si f est une fonction Iiomogène du premier degré, le théorème d'Euler donne:
df ^ df . df ^
ou :
ou enfin
dx
dx
Appliquons à la fonction P. p,-^. est une fonction homogène du premier degré de Xi, y,- ; et x/,-, yu, les autres coordonnées, n'y entrent pas. Par conséquent
d log p,v, d log p,,,.
'^' dxi '^y^ dyt + -*'
ou en multipliant tous les termes par mimic :
E( dmjViA. logpnA- , dnif^Uk log pik\
la sommation étant étendue à toutes les valeurs dep, de 1 à n. Ensuite il faut prendre toutes les combinaisons possibles de i et k, et faire la somme ; ce qui donne :
dXfj ^ dypj
On^.
D'après les équations (1) [68], cette relation équivaut à (10) 2 ^p {^p '^ - Vp '^) = H ^'Vn..
Le premier membre est la somme des moments des quantités de mouvement, le second est une constante.
77. Nous avons ainsi déterminé trois intégrales de nos équations différentielles (1); ces propriétés des équations nous permettront de les intégrer par des quadratures quand il y aura seulement trois tubes tourbillonnaires.
En effet, nos équations ont la forme des équations canoniques de Hamilton, lesquelles s'intègrent par quadratures, quand elles renferment 2n variables, et qu'on connaît n intégrales particulières. Or, quand il existe trois tubes tourbillonnaires, les équations renferment six variables x^, y^, x^^ t/g, 373, î/3, et nous avons trouvé trois intégrales particulières.
