SIMPLIFICATION DES ÉQUATIONS DE LAG RANGE

puisque -^dl représente l'accroissement de la densité o pendant le temps dt.

Donc il faut que :

c'est l'équation de continuité dans le système d'Euler. Elle peut s'écrire :

ou en tenant compte de la relation (2)

Seulement, sous cette dernière forme, elle renferme les deux espèces de dérivées.

4. Simplification des équations de Lagrange. — Les équations de Lagrange sont susceptibles de se simplifier, quand on fait les hypothèses nécessaires, comme nous le verrons, pour l'application du principe de Helmholtz.

Dans ce cas, les forces X, Y, Z admettent un potentiel V:

^x t)y (iz

Quel que soit le fluide, la densité z, la pression p H la température T sont liées par une relation, telle que :

Pour que le théorème soit applicable, il faut que p soitfonc-

lion de p seulement : ce qui arrivera s'il s'agit d'un liquide unique ou d'un gaz obéissant à la loi de Mariotte dont la température est uniforme (p = p), ou d'un gaz qui subit une transformation adiabatique (p = pT). Si la température n'est pas uniforme, il faut que les surfaces d'égale pression coïncident avec les surfaces d'égale température. S'il y a deux liquides superposés, il faut que la pression soit constante sur la surface de séparation, pour qu'on ait le droit d'appliquer le théorème.

Quand p est une fonction de p, -^ est une différentielle

P exacte, et

est une fonction de p. Posons

et différentions par rapport à x, il vient :

Remplaçons -y- par la valeur tirée de cette relation dans

la première équation de Lagrange, il viendra en remarquant

que^ = X:

du li^ di ~~ Tix

dv 3d»

^' 'dt~ty

dw c)i|.'

'di~^'