LIQUIDE COMPRIS ENTRE DEUX PLANS RECTANGULAIRES
85. La solution que nous venons de trouver n'est pas la seule, car le vase n'est pas simplement connexe. Pour obtenir la solution la plus générale, il suffît d'ajouter un tube ayant pour trace le centre 0 et un moment quelconque. En effet, la vitesse duc à ce tube est tangente en particulier à C et à G', puisque toutes les lignes de courant dues à ce tube sont des circonférences ayant le point 0 pour centre.
La trajectoire de Aq est évidemment une circonférence de centre 0, la vitesse due à tous les tubes étant constamment normale au rayon vecteur OA^.
86, Liquide compris entre deux plans rectangulaires.
— Prenons les deux plans qui limitent le liquide pour plan des xz et des yz. Soient Ox et Oy leurs traces ; A^, celle d'un tube tourbillonnaire infiniment délié de moment ^tt [flg. 26).
Prenons les symétriques de A() par rapport à ^x et 0^ en A^ et en A^, puis les symétriques de A, par rapport à Oî/ et de k^ par rapport à Oa;; ces deux points se con- Fig. 26.
fondent en A3 symétrique de A^ par rapport au point 0,
Attribuons les moments :
H- 27: à Ao
Supprimons les cloisons et imaginons que les quatre tubes Aq, A^, Aj, A3 existent simultanément. Les axes 0£c et oy seront des lignes de courants puisque les tubes sont conjugués deux à deux par rapport à ces axes ; et l'introduction des cloisons dans les plans des xz et des yz ne modifiera pas le mouvement.
Quelle sera la trajectoire du point A^. Nous avons défini [72] la fonction P, et nous avons vu que, dans le cas d'un liquide indéfini, cette fonction est proportionnelle à la force vive: si donc les cloisons étaient supprimées et que les quatre tubes existassent réellement, la force vive totale du liquide serait égale à P à un facteur constant près. Mais la force vive du liquide compris entre les deux plans est le quart de la force vive totale, qu'on obtiendrait en supprimant les cloisons et donnant une existence réelle aux tubes A^, A^, A3.
Donc: La force vive du liquide réel compris entre les deux plans est encore proportionnelle à P, et l'équation des forces vives s'écrit :
P = const.
Or:
P = ^ mon,, logp,/.
Dans le cas actuel m,- = =b 1, et il y a six termes, correspondant à six distances p qui sont égales deux à deux. Pour les termes qui correspondent à deux sommets opposés du rectangle, le produit m,m/;. = -)- 1 ; pour les quatre autres termes, m^nk = — 1. Donc:
P = 2 logA^Aj — 2 logA^Ao — 2 logAgA^ = const.
A^Ao = 22/ A^Ao = 2a;.
LIQUIDE COMPRIS ENTRE DEUX CYLINDRES RECTANGULAIRES 'J^ L'équation de la trajectoire du point A^ sera donc :
ou
2 log 2 s/x''- -\- y- — 2 log \xy = const.
— r-^ = const.
il + ^ = const.
Donc la trajectoire du point A„ dans le mouvement étudié est représentée par cette courbe, qui est asymptote aux deux axes.
