CHAPITRE VI

Soient deux aires planes simplement connexes ; deux points M [x, y] et M' [x' ^ y') de ces aires. Supposons qu'on ait établi entre Met M' une correspondance telle que x et y' soient fonction de a; et de 2/ : à chaque point M correspond un seul point M', et réciproquement. Si x' et y' sont des fonctions continues de x et de y. M' décrira une courbe quand M décrit une courbe, et inversement. Aux différents points du contour de la première aire correspondront les points du contour de la deuxième. En choisissant convenablement les fonctions x' et y' , on peut conserver les angles, c'est-à-dire obtenir que les représentations des courbes se coupent sous le même angle que les courbes elles-mêmes. On dit alors que la représentation est conforme. Deux triangles infiniment petits correspondants sont alors semblables ; et aussi deux figures infiniment petites correspondantes quelconques, puisqu'on peut les décomposer en triangles semblables deux à deux.

DEFINITION UE LA REPRÉSENTATION CONFORMK 'Jl

88. Considérons la variable complexe x' -j- \/ — ly' : il peut arriver que a/ -j- y — iy' soit fonction de a; -f- \' — 1 y. Dans ce cas les angles sont conservés et réciproquement. En effet, les conditions qui expriment ce fait sont :

dx' dy'

d:r dy

dx ay

dy dx

Peut-on de cette manière faire la représentation conforme d'une courbe sur elle-même ?

Soit, par exemple, une circonférence:

1° On peut la faire tourner autour de son centre : 2" Considérons un point M dans l'intérieur du cercle ; soient (û7,3/) ses coordonnées: je puis y faire correspondre M' (a;', y') également intérieur à la circonférence, suivant une représentation conforme, de manière qu'au centre 0 corresponde un point 0' quelconque à l'intérieur du cercle.

En effet, prenons le rayon de la circonférence pour unité. M a pour affixe la quantité imaginaire x -j- v' — ^y, et l'équation de la circonférence est :

I X -\- \J — iy I = const =: 1.

Soit a -{- sj — \b l'affixe de 0'. Considérons l'expression :

, I / — r / '^ [^ + v'— ly) 4- 3 x' -\- \j— \ij' = -^ !!___i;iZ r L.

Je puis choisir : a. S, y, o de façon que M' décrive la circonférence en même temps que M, c'est-à-dire que le module

de x -f- s/ — Vy' soit égal à l'unité en même temps que celui

de a; + V — ^V-

Le point 0" conjugué de 0' a pour affixe : / — r ;

faisons :

I /■ — T ^ a — V— le

a — V— 1* La condition :

équivaut à :

ou :

Donc, pour les points de la circonférence (a;, y), nous pourrons écrire :

X 4- vZ-ly- = ^ + v/^.y - (a + v/=^^i 1

v/ — iy a — s/ — 16

ou :

x—\—iy—{a—\J — 16) a — V — 4 6

Les deux fractions ont pour module l'unité, puisque leurs deux termes sont conjugués. Celui de a? — \l — iy est égal à l'unité. Le module de x' -\- s/— iy' se réduit donc à l'unité.

Si on fait :