X -\- V — iy = a -]- s]—~\b

on a :

X' + sl^y' = o,

de sorte que le point 0 est le transformé du point 0', qui a été choisi arbitrairement à l'intérieur de la circonférence.

89. M. Schwartz a donné le moyen de faire la représentation conforme d'une aire plane quelconque sur un cercle; mais les procédés sont en général assez compliqués, sauf dans quelques cas relativement simples.

Supposons que nous sachions faire la représentation conforme d'une aire A sur un cercle de telle manière qu'au point M de l'aire A corresponde un point M' du cercle, et qu'au point Po de l'aire A corresponde le centre du cercle. Je dis qu'on pourra aussi trouver une autre représentation de l'aire A sur le même cercle, qui sera telle qu'un autre point P de l'aire A vienne au centre du cercle. Soit, en effet, P' le point du cercle correspondant à P dans la première représentation. Faisons la représentation conforme du cercle sur lui-même, de manière qu'au point M' corresponde le point M", et qu'au point P' corresponde le centre du cercle. Cela est toujours possible [88].

Nous aurons encore une représentation conforme de l'aire primitive A ; en effet, soient [x, y), {x\ y') et [x" , y") les coordonnées des points M, M' et M" ; x" et y" sont fonctions de {x\ y') et, par suite, fonctions de [x, y) comme x' et y' eux-mêmes. D'autre part, les angles n'ont pas été altérés puisque les deux représentations faites successivement sont toutes deux des représentations conformes. Enfin, si le point M vient en P, le point M' vient en P', et le point M" au centre du cercle.