V -\- \J — iu

est une fonction àe x -\- y — ly.

Je puis donc poser :

(2) d'où :

(3) Posons :

— - t/ (^ + y/- Icp)

d'il d^

dy dx

d'^ rfcp

dx dy

Cette expression sera une fonction de a; -j- \/ — 1 y. Les fonctions u et v se comportent régulièrement à l'intérieur de la courbe C, sauf au point A^ où w et u deviennent infiniment grands du premier ordre.

J'ajoute que la différence

-hsZ-iy

reste finie. La fonction

^ j y/- Icp log {x + V- iy) =n{x + \J-l y) reste aussi finie, même au point A^. Par conséquent :

g^+ yCTTcp ^^ | y/ lyj /l

PROBLÈME DK HELMHOLTZ 101

n'admettra pas de point singulier, puisque les deux facteurs se comportent régulièrement au point Ay. Le long de la courbe C, qui est une ligne de courant, -l = consl. Or ep est le module de e|' + ^^-^? ou x' -\- sj — ii/'. Donc le long de G le module de x' -}- s/ — ly est constant :

(1) x"^ + ?/" = const.

Considérons un point M [x, y) à l'intérieur de la courbe C ; quand ce point parcourra toute l'aire limitée par C, le point {x, y') parcourra l'aire limitée par la courbe correspondant à C ; or, d'après l'équation (1), cette courbe est une circonférence dont le centre correspond à \q. La représentation est conforme

puisque x' -f- V^ — iy' est fonction de x -\- \' — ly.

91. Réciproquement, si on sait faire la représentation conforme de l'aire G, on pourra résoudre le problème d'Helmholtz.

On connaîtra alors x -\- \l — iy' , on posera :

cl]^ ^.

dx dy

:p sera la fonction des vitesses (en dehors du tube k^).

92. Pour déterminer la trajectoire du centre de gravité A(, du tube, il est plus commode d'avoir recours à la comparaison électrostatique.

Considérons un champ électrique déterminé par un certain nombre de droites perpendiculaires au plan des xy^ de longueur 2^ très grande par rapport à leurs distances, et électrisées uniformément ; nous supposerons que les extrémités de toutes ces droites sont dans les deux plans ^ = ^ et ^ := — l.

Soieni{/ïg. 27) AB une de ces droites ; P,un point quelconque

sur cette droite, ayant pour coordonnées x', y\ z' ; P', un

point de la droite infiniment voisin dont les

coordonnées sont x\ y\ z' -}- dz'.

Si S est la charge par unité de longueur, la p' charge de FF' sera Mz' et le potentiel de la P droite AB en un point tel que M {x, y, z)

sera:

^+1 Mz'

Fig. 27.

Soit p la distance du point M à la droite

Posons

MP^ = p2 -f (;r — z'f

Idz

+ (^ - zy

ou, comme a et p sont très grands vis-à-vis de p, on a approximativement :

V = S log -~ = 2o log — ^^

APPLICATION A LHYDRODYNAMIQUE 103