Si les droites électrisées sont en nombre quelconque
V=22ô,Iog
2 \Jl''
ou
(4) V = - 2^0, log p, + 2 log 2 \lP - z^^S,. Si la somme des charges est nulle :
alors le potentiel
V = -228,log
ne dépend plus de l ni de z.
La composante de la force électromotrice parallèle à 0;;-,
-;-» est nulle.
dz
94. Application à l'hydrodynamique. — Soient C la section du vase, Q celle du tube tourbillonnaire {/îg. 28). Le tourbillon Ç varie d'une manière quel- pjg os. conque à l'intérieur de Q et est nul à l'extérieur. Soit 27c le moment total du tube :
(6) /sÇc/o) = 27r.
Les équations à satisfaire sont : l'équation de continuité
,, du , dv
et l'équation
(8) lr^ = 2c.
^ dx dy
La relation (1) exprime que u et v sont le^ dérivées d'une même fonction t|/ (a;, y]
dy dx
vdx — udy = d'^.
Substituons ces valeurs de m et f dans (5!), il vient :
Al]/ = 2Ç.
Par conséquent à l'extérieur de Q
Ai|/ = o,
et il y a une fonction des vitesses. lia courbe C doit être une ligne de courant, c'est-à-dire que le long de cette ligne
dx dy
ou
-^dx -j — T-dxi = c^vL = o.
dx ' dy -^ ^
Le long de G on a donc
iL = const.
Comme <]^ n'est défini que par ses dérivées, on peut toujours s'arranger de manière que celte constante soit nulle.
95. Remplaçons maintenant dans le tube ù chaque tube infiniment délié par une droite électrisée de longueur 2^, la
APPLICATION A L HYDRODYNAMIQUE 105
densité sur cette droite étant proportionnelle à Ç. Supposons l'espace compris entre Q et G rempli par un diélectrique, et à l'extérieur de G un conducteur limité intérieurement par le cylindre qui admet cette courbe comme section droite. Si ce conducteur est en communication avec le sol, son potentiel -i» sera nul, et tout le long de G on aura i!/ = o.
Mais il se répandra sur G une couche d'électricité, formant une charge égale et de signe contraire à celle de Û (théorème de Faraday). En choisissant convenablement le facteur de proportionnalité qui lie la densité à r, le potentiel sera représenté par la fonction ■}, que nous avons précédemment définie [94].
A l'intérieur de G, dans le diélectrique:
Dans l'intérieur du cylindre Q,
Il suffit donc de prendre :
ou :
/ ix'Wa) = — -•
La fonction ■]> satisfera alors aux mêmes conditions que la fonction ■} définie parle problème de Helmholtz. 'i/ne dépend que de a? et de y, et la somme des charges est nulle, puisque les charges de G et de Û sont égales et de signe contraire.
En un point de la surface du cylindre G, la densité super-
ficielle (jl' sera telle que
en appelant s l'arc de la courbe G.
Le potentiel a donc pour expression :
(10) t|> = — 2 Ci>.'ds log p — 2 C^"d<a log p
(en désignant parvf/'la première intégrale, et par ij/" la seconde).
Il faut bien remarquer que y n'est pas le potentiel dû au cylindre G seul, et Y le potentiel dû au cylindre Q seul, parce que les charges de ces cylindres considérés isolément ne sont plus nulles.
L'expression du potentiel de G serait [93] :
— 2 f^'ds log p + 2 log 2 v//2 — z^ffx'ds, ou :
— 4/' +■ log 2 s/l' - z\ et pour le cylindre Q :
en remarquant que / ^l'ds = -|- ô' ^W 1^"^^ = — â' Les composantes de la force électromotrice sont :
d'I dû/
dx dy
APPLICATION A l'hYDRODYNAMIQUE 107
il faut les faire tourner de 90 degrés pour obtenir les composantes de la vitesse, dont les valeurs seront par conséquent:
^ '~ ~ dy dy dx dx
96. Supposons que le tube devienne infiniment délié, sa trace se réduisant au point G, et que son moment reste égal à Stt.
Toute l'électricité sera concentrée sur la droite G perpendiculaire au plan des xy; au voisinage de cette droite, la force électrique et, par conséquent, la vitesse deviennent infiniment grandes. Alors l'expression de Y devient :
Y = — 21og Pof\t-"db) = logpo,
Pj, étant la distance du point M à la droite menée par le centre de gravité du tube, parallèlement à l'axe des z.
En effet, à des infiniment petits près d'ordre supérieur, p devient égal à po- [MP devient égal à MG (A5'-28)]. Si le point considéré M approche indéfiniment de G. pp tend vers 0, et Y devient infiniment grand. Au contraire <y reste fini, parce que p reste fini même si le point M s'approche indéfiniment de G.
Par conséquent m et u croissent indéfiniment, quoique leurs
premiers termes -f- et -^ demeurent finis, autrement dit les
fonctions :
dy
gPo
dx
restent finies, même au point G.
La fonction ^ doit donc satisfaire aux conditions suivantes : La fonction doit être finie et continue ainsi que ses dérivées dans toute l'aire limitée par la courbe G, sauf au point G; elle doit satisfaire en tout point de cette aire à l'équation de Laplace A-]/ = o et être égale à o en tout point du contour G ; enfin les fonctions
c?logpo Q^loKpo
Xl L -2-LU, y — l^
dy dx
doivent rester finies au voisinage de G.
Le problème ainsi posé ne comporte qu'une solution ; cette solution nous sera donnée par la représentation conforme.
97. Admettons, en effet, que nous ayons obtenu la représentation conforme de l'aire C sur la surface d'un cercle de rayon égal à l'unité, ayant son centre à l'origine. Supposons que le point G corresponde au centre du cercle. A un point M (a?, y) de l'aire G correspond M' [x\ y') du cercle : x -\-\J — iy' est une fonction de x -\-\J — iy. Posons :
log [x + V— W) = '^ + sl— !?• Je dis que la fonction :
ij; = log \jx"^ — y"^ satisfait aux conditions demandées.
