VITESSE DU POINT G

En effet :

puisque <l est la partie réelle d'une fonction analytique.

<^ = otout le long deC, puisque C a pour représentation le cercle:

<]/ — log po reste iini. 11 ne pourrait être infini qu'au point G correspondant au point 0, pour lequel :

Soient x^^, y^ les coordonnées du point G :

>]/ — log Po —- partie réelle de log ^ — ^—

x-\-s— iy - [x^ + v^— iy^)

x -j- \l — ^y' s'annule pour x -^ V — ly =^ -^o 4" V — l^o ^^ c'est un zéro simple; la quantité sous le signe log ne s'annule donc plus au point G.

93. Vitesse du point G. — La vitesse du point G est déterminée par l'équation (1) [65j.

dx, ~dt

^ Cldv, = Culdià,

ou :

t/^"— Jf^''-jf^'"

Or, / -7- Woj = 0. En effet, si la cloison C n'existait pas,

HO DÉFINITION DE LA REPRÉSENTATION CONx'i'ORME

les composantes de la vitesse seraient :

dy dz

Mais, dans ce cas, le centre de gravité G du tube tourbillonnaire est fixe :

f^du

d'où

^Çc/co^O.

Il reste donc :

—r^ sera une des valeurs que prend p- à l'intérieur de la

dt ^ ^ dy

section Q du tube tourbiilonnaire. Si le tube est infiniment

délié, cette valeur diffère peu de la valeur que prend cette

fonction au point G.

Pour calculer —^^ nous prendrons donc la dérivée ^

dt ^ dy

et nous y substituerons à a; et y les coordonnées ir^, y^^ du point G. De la même façon nous calculerons -^ = (;t^) '

99. Comparaison électrostatique. — Considérons un point M dans le plan des xy ; la force électrique qui agit en ce point est, par raison de symétrie (puisque les extrémités

TKAJECTOIKK DU POINT G lH

des droites électriques sont supposées dans les plans z = ± l équidistants du plan des xy), située dans ce plan, ses composantes ont pour expression ^. -j- ; elle est due h la charge du cylindre il et à la surface C. Cette force peut donc être regardée comme la résultante de deux autres, l'une due à lu charge de G et dont les composantes seront :

dœ dy dz

Si le point M est dans le plan des xy, la troisième composante s'annule. La seconde force due à Q a pour composantes :

dx dy dz

Le second terme du potentiel de Q ne dépend pas non plus de X et de y.

Dans le plan des xy, la troisième composante s'annule encore, et nous avons deux forces dont les trois composantes sont respectivement :

d\' dA[ dx dy

dJl cU£ dx dy

près du point G cette dernière devient très grande. La première reste finie et, d'après le numéro précédent, en la faisant tourner de 90 degrés, on obtiendra la vitesse du point G.

100. Trajectoire du point G. — Pour trouver celte trajectoire, ou plutôt une de ses principales propriétés, car il

n'est pas toujours possible d'obtenir son équation sous forme finie, il est commode de recourir encore à la comparaison électrostatique.

101. Je rappelle d'abord quelques théorèmes d'électrostatique dont je ferai usage.

Théorème I. — Soit un champ électrique contenant des conducteurs qui possèdent des charges M^, M2, .... M„ respectivement aux potentiels V^, Vg, ..,, V„. Si ce champ subit un changement, le travail produit par les forces électriques est égala l'accroissement de la somme:

l (M, V, + M,V, -f- ... + M„V,) = i ^MV.

Théorème II. — Soient deux systèmes de conducteurs S et S', qui exercent l'un sur l'autre des actions mutuelles (abstraction faite des forces qu'exercent les conducteurs d'un système sur les conducteurs du même système).

Supposons, pour simplifier l'énoncé, que les conducteurs soient très petits et assimilables à des points. S'il n'en était pas ainsi, on devrait décomposer chaque conducteur en éléments infiniment petits.

Soient M^, M.^, ..., M„ les charges électriques des conducteurs qui composent le système S; V^' , Vg, ..., V,' les potentiels que produirait le système S' aux points où se trouvent ces charges. Soient M{, M 2, •.., M,[ les charges des conducteurs dans le système S', et V^, Vg, ..., V„ les potentiels que produirait en ces points le système S.

Le travail des forces qu'exerce S sur S' augmenté du travail des forces qu'exerce S' sur S est égal à l'accroissement de la