DÉMONSTRATION DU THÉORÈME

5. Théorème de Helmholtz. — Considérons une infinité de molécules fluides formant à l'instant / = o une courbe fermée Coi à l'instant l ces molécules forment une autre courbe fermée G (2). L'intégrale

(8) .1 = j[udx + vdy + lodz)

prise tout le long de la courbe G est constante.

Ce n'est passons cette forme que Helmholtz a donné son théorème, mais sous une forme équivalente, comme nous le verrons plus loin.

Ce théorème renferme, comme cas particulier, celui de Lagrange : s'il existe à l'origine des temps un potentiel des vitesses, il en existe un à une époque quelconque.

En effet, dans ce cas, on a :

udx + vdy -\- wdz = c?cp,

et l'intégrale J est nulle à l'origine du temps Si elle est constante, elle est toujours nulle, et l'expression sous le signe J est toujours une différentielle exacte.

6. Démonstration du théorème. — Les équations de la courbe fermée Co seront :

/; ... etc., étant des fonctions continues et périodiques de ot. De même, pour la courbe C :

Appelant A la période de a :

Il s'agit de prouver que Or

dt

I \^ dx

[ Xydu dx . . / x^ d'^x ,

Je dis que chacune des sommes i] est une différentielle exacte.

En effet :

S du dx j 'V''4' ^^

Y^ c)i]/ c?a? 3t|/ dx ^']> dy ^. c*'|/ dz d^

^'èx dft iix dcL 2y d'x'' ^z dix da.

d'où

du dx

D'autre part

d^x , du ^ l du^ . 1 , „ ,

ti-, — r dr = u — da = - — — dcL = - dir, etc.