LA TRAJECTOIRE EST UNE COURBE FERMÉE
point G et, par suite, ne fournit aucun travail. Il en est de même des forces Fg et F3. En effet la résultante de ces forces est normale au conducteur G (car dans une distribution électrostatique les lignes de forces aboutissent toujours normalement aux conducteurs) : les masses jx' se déplacent, mais en restant à la surface du conducteur, et par conséquent dans une direction perpendiculaire à celle de la force. Gette force ne produit pas de travail.
Le travail total des forces F2, Fg et F3 est donc nul.
Il résulte de là que :
d[V - P') = 0, P — P' — const,
ou :
et
const.
106. La trajectoire est une courbe fermée. — Supposons qu'on ait fait la représentation conforme de l'aire G sur UQ cercle K ayant son centre en 0 {fig. 29). Au point G (a?,„ y^) correspond G' [xq, y^), et au point M (a;, y) le point M' {x', y'). Posons :
'x + s/^^y =Z ^0 + V^^ I/o = Zo
Fig. 29.
Z' est une certaine fonction de Z, /"(Z). Z^ la même fonction deZo./lZo).
Posons encore :
Pour pouvoir appliquer les formules, il nous faut trouver une autre représentation conforme telle qu'au point G corresponde le point 0, et à M un point M" (a;", y") tel que :
se" -f V^ITT y" =^ z' — cp(Z).
Pendant le déplacement du point G, la forme de la fonction cp variera, mais celle de f demeurera la même, car dans la définition de /"le point G ne joue aucun rôle.
Nous savons [88] qu'il suffit de prendre :
En efl'et : si mod Z= 1, on a mod Z'' = 1.
Si Z = Zj), Z' r= Zo et Z^ = o, c'est-à-dire qu'au point G correspond bien le point 0.
Z" est une fonction de a; et de 3/ :
']> — p réelle de log Z" = log \Z"\
Y = log pû
en prenant:
f = log
Po
MG = IZ — Zol
= log
Z'-Z^ Z-Zo
z-Zo
-loglZ'U^-l]
tj/o est la valeur de cette expression pour Z = Z^, soit en
lA TP.AJKr.TOIRF. EST UNE COURBE FERMÉE 1 l'J
appliquant la règle de l'Hôpital:
•K=ïog
log|Z^U^-ll
tVL'
cV/u
log 'l-|Zil =
L'équation -h'^ = const peut donc s'écrire en passant des logarithmes aux nombres :
dZi
const.
La trajectoire est donc toujours une courbe fermée.
