Expression de la force vive du liquide. — La
force vive totale du liquide a pour expression :
(4) T = { fy- -f v^' + >.^) ch,
en supposant que la densité du liquide est prise pour unité ; dans la comparaison électrodynamique, si le milieu dans lequel se trouvent les courants n'est pas magnétique (a = 1,, l'énergie électrocinétique sera :
Cette énergie électrocinétique est susceptible d'une autre expression. Considérons, en effet, un élément de courant sur l'un des circuits qui engendrent le champ; soient ds cet élément ; i, l'intensité du courant ; P la projection du potentiel vecteur sur la direction de l'élément ds, la somme :
étendue à tous les éléments de courant représente l'énergie cinétique. Si pour un instant nous désignons avec Maxwell par u, w, w les composantes du courant, Maxwell démontre que :
(6) yids.P = |j(Fu -\rGv-\- \hc) cIt.
(Cf. Électricité et Optique, I, page 133.)
Dans nos notations actuelles les composantes du courant sont
1 JL 1
d'où
\fUs? = iJ(F|. + GJ^+Hi)rf. = i/(b^;+G,+Hc)rfx,
et
(1) T =/(F^ + Gïi 4- Hg c/t.
111. L'identité de ces deux expressions se démontre d'ailleurs directement. En effet:
/(pç + G, H- HC) A =/2fW. =/2f|V -/Spg*. Remarquons que dx = dxdydz, et intégrons par parties :
/ F ;r- dxdydz = JFwdccdz — jio-j-dT:. Nous devons intégrer entre — co et -\- ce . Or, à l'infini,
ACTION MUTUELLE DES ÉLÉMENTS DE COURANTS l2o
F et 10 sont nuls; le l^rme tout connu esl donc nul aux limites, et il reste seulement :
il,dio , C à^ ,
/ F -r- c/t = — \xo-rd-z.
j dy J dp
De même
Donc
[F^>/t= -h^-^dx dz
soit, en développant les V :
2 / \ dz dx~^ dy dy dz dx)
= iL \u (f -f)+. (f -f) + ,0 (f - f )] ou, en se reportant aux équations (2)
T = | AW^ + W2 + î/)2j ££^,
112. Actions mutuelles des éléments de courants qui remplacent les tubes tourbillonnaires. — Soit un élément de courant MM' de longueur ds et d'intensité i placé dans un champ magnétique; soient MP le vecteur qui représente la force magnétique en M; MC, un vecteur tangent à MM' et proportionnel à ids. L'élément MM', comme on le sait, est
soumis à une force perpendiculaire au plan MTC et égale à l'aire du parallélogramme construit sur MT et sur MG. Soient dx, dy, dz les projections de ds sur les trois axes; a, p, y celles de la force magnétique MT ; idx, idy, idz les projections du vecteur MG. Les projections de la force électrodynamique sur les axes sont :
Ox) idz.^ — idy.^
Oy) idx.y — idz.i
Oz) idy.x — idx.^.
Dans le cas qui nous occupe, les quantités qui correspondent à idx, idy, idz sont :
\dT y\dT Cofr
et celles qui correspondent à x, [i, v sont m, v, lo. Les composantes de la force éleclrodynamique seront alors :
51 ^^^ — ■^■l) = Xt/T
dr
^ vM?; — uC\ = Yc/t
en posant :
dz , ^.
— (wr, — u;) = Zd-c.
113. Théorème. — Les forces (X, Y, Z) qui représentent les actions mutuelles des éléments de courants fictifs, par lesquels
DÉMONSTRATION DIl'.ECTE DK L KgUATlON 127
nous avons remplacé nos lubes lourbillonnaires, doivent elie égales el opposées deux à deux. Donc :
La somme de leurs projections sur un axe quelconque est nulle:
(8) y XdT = 0 ou : V (r; — wr^; dz = o.
De même, la somme de leurs moments par rapport à un axe quelconque est nulle :
(9) V (Xy - \x) r/r z= 0.
114. Démonstration directe de l'équation 2XciT= o. — Soit une surface S. par exemple une sphère ayant pour centre l'origine et de rayon R très grand. Soit c/w un élément de celte surface, l. m, n les cosinus directeurs de la normale à cet élément. Je dis que l'intégrale :
/ rfcj - («2 -|- u- -f "-•■"") — " (^" + mv -\- nie)
est nulle.
En effet, nous avons supposé tous nos tubes tourbillonnaires à distance finie ; un point de la surface situé à une distance R très grande de l'origine sera aussi à une distance très grande, du même ordre que R, des tubes tourbillonnaires. Le vecteur (m, u, w) représente la vitesse ou la force magnétique. On sait
1 c;. , que celte force magnétique varie comme ^^- bi donc nous
regardons R comme un infiniment grand du premier ordre,
u, V, î(j seront infiniment petits du troisième ordre, comme j^^>
MOUVEMENT DES TUBES TOURBILLOiNNAlRES
et u^, u', lo"^ seront du sixième ordre. La surface à laquelle on étend l'intégrale est infiniment grande, il est vrai, mais seulement du second ordre ; l'intégrale est donc nulle.
Transformons cette intégrale d'après la formule connue :
il vient
fdz
f ''''■' =Jf. '-■
du ^^ ^ l ^^
dx dx dx
du dv dio
dx dy dz
du du du
dx dy dz
La seconde ligne est nulle en vertu de l'équation de continuité. En tenant compte des équations (1), il reste :
ou :
2 / Û?T (Ui; ÎOT)) = Û,
^ Xc/t = o.
