LIQUIDE ENFERMÉ DANS UN VASE

voisin, mais situé de l'autre côté de la surface, le liquide en repos. La vitesse est donc discontinue. Cette discontinuité peut être remplacée par l'introduction d'un tube tourbillonnaire. En effet, prenons le cas parliculierd'une surface plane, le pian des xy par exemple, le liquide étant au-dessous de ce plan. Au-dessus du plan la vitesse sera nulle ; au dessous, elle sera constante et parallèle à Qx.

Supposons que la variation de vitesse se fasse non pas brusquement, mais d'une façon continue, quoique très rapide. Dans la couche de passage u sera une certaine fonction de z :

et :

du , , .

sera différent de 0. D'après les hypothèses faites, u est fonction de z, seulement; v = w z= o. Donc l et Ç sont nuls ; mais

1 du

'^~id^

est différent de 0, et est même très grand.

Le tourbillon qui remplace la discontinuité sera donc parallèle au plan de séparation et perpendiculaire à la vitesse u.

119. Si la surface de séparation est courbe, et la vitesse variable, le théorème sera encore vrai. Il suffit, pour le démontrer, de décomposer la surface en éléments assez petits pour qu'on puisse considérer ces éléments comme plans, et la vitesse comme constante dans toute leur étendue ; il est toujours possible de choisir l'épaisseur de la couche de passage

très petite même vis-à-vis de ces éléments; nous pourrons ainsi remplacer la surface par une nappe de tubes tourbillonnaires. D'après la démonstration précédente, chacun des tubes sera dirigé dans le plan de l'élément, c'est-à-dire dans le plan tangent à la surface, et la limite sera sur celte surface elle-même, perpendiculairement à la vitesse au point considéré.

120. La force (X, Y,Z) qui représente l'action électrodynamique sur un élément de nos courants fictifs doit être perpendiculaire à la fois au courant et à la force magnétique. Le courant est dans le plan tangent à la surface du vase ; la force magnétique, qui est dirigée comme la vitesse, est aussi située dans le plan tangent; la force (X, Y, Z) est donc normale à la surface du vase.

121. Pour appliquer au cas actuel les théorèmes que nous avons démontrés dans le cas d'un liquide indéfini (113-116), il nous faudra tenir compte de deux groupes de forces électrodynamiques, celles qui agissent sur les courants que nous avons substitués aux tubes tourbillonnaires, et celles qui agissent sur la nappe de courants qui remplace la surface.

Mais, dans un certain nombre de cas particuliers, les termes complémentaires provenant de ces dernières forces, que nous devrions ajouter dans nos équations, auront une somme nulle.

Par exemple, si le vase a la forme d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Ox, les forces qui agissent sur la nappe de courants étant normales à la surface seront normales à Oa?, et la somme de projections sur Ose sera nulle. Le premier théorème reste vrai sans modification (113).

Si le vase est de révolution autour de 0^, la somme des