LES TUBES TOURBILL. SONT DES CYLINDRES PARALLÈLES

moments des forces complémentaires par rapport à 0;r sera nulle, puisque toutes ces forces rencontreront Oz. Le deuxième théorème (113) sera encore vrai.

Si le vase est une sphère ou l'espace compris entre deux sphères concentriques, le second théorème est vrai par rapport à un axe quelconque passant par le centre, la sphère étant de révolution autour d'un axe quelconque.

Si le vase est limité par deux plans parallèles au plan des œy par exemple, on peut le considérer comme de révolution autour de l'axe des z, ou comme un cylindre parallèle soit à Ox et à Oy, et appliquer les remarques relatives à ces différents cas.

122. Les tubes tourbillonnaires sont des cylindres parallèles à oz. — Dans ces conditions :

Ç, ic, V ne dépendent que de z.

Le mouvement ne sera pas modifié (56) si nous limitons une portion du liquide par deux plans parallèles au plan des xy, par exemple : z =0, z = 1. Les deux théorèmes sont encore applicahles. Voici comment nous définirons l'élément dz. Décomposons le plan desa;y en éléments de surface dui, et prenons chacun de ces éléments comme base d'un cylindre parallèle à 0^, et limité aux plans ^ = 0 et 2 = 1. L'espace compris entre les deux plans sera de cette façon partagé en une infinité de ces cylindres; puis nous menons des plans parallèles au plan des xy, distants entre eux de dz. C'est la tranche limitée dans un des cylindres par deux de ces plans

que nous prendrons pour l'élément rfr. Nous aurons donc :

dr = duidZy et l'expression du premier théorème devient :

ivX,dzdiù = G

Comme v, l ne dépendent pas de z ; nous pouvons intégrer par rapport à z entre les limites ^ = Oet^ = -|-*> ^'où :

(11) j'vC,dià = o de la même manière, nous trouverions

(12) fu^dio ■— o.

Le second théorème devient, en dvéeloppant le déterminant

/ [xu -]- yv)X,dzdiù = o

ou en intégrant par rapport à z, comme ci-dessus :

(13) / {cou -|- 2/u)Cc/c') = o.

123. Nous retrouvons ainsi les théorèmes que nous avons démontrés dans les chapitres précédents.

Le centre de gravité de tous les tubes tourbillonnaires demeure fixe, ce qui s'exprime par les équations :

jx^di» = const fyi^doy =: const