Démonstration directe de la relation \\sd-z
— Revenons maintenant au cas général. Nous avons démontré parla comparaison électrodynamique la relation (10)
/da = |.
Cette relation peut aussi s'établir directement, comme nous allons maintenant le faire voir.
Posons pour abréger :
- u^ -\- V^ -}- ÎO^
ou
Développons le déterminant D suivant les éléments de la première ligne
en posant
A. := -TiW — ^V
B = Çw — ^w G = lv — r^u.
Calculons A par exemple
2A = 2-ri?o — 2tv = îo (
du dic\ /dv du\
dz dx) \dx dyj
du du du dv . du dia
dx dx dy dx dz dx
du . du ^^ du dh
~ dx~^ dy* dz dx'
DÉMONSTRATION DIRKCTE DE LA RKLATION IIH
les expressions de B et de C se déduiront de celle-là par symétrie.
Envisageons l'intégrale
{lx-\-7ni/-\-nz) — '—^- —{hi-Jrmv-\-nw){xu-\-i/v-\-zic) h
Cette intégrale, prise sur toute la surface d'une sphère de rayon très grand, est nulle, d'après un raisonnement que nous avons fait plusieurs fois déjà (voir en partie, 114). Transformons-la d'après la formule dont nous avons aussi déjà fait usage :
flXdoi = /^
— d dx
ou
j^ad. =J2
-T-di dx
X = X — ^^^- — n [oQii | j^y [ 2ic) =^ xh — mK
en posant :
K = aJM -)- yy -j- zw^
et par conséquent
^ -— — J^ 1 — K 2 i ^ 1 — Jl. ^\
dx dx'^ dx \ dx ' dx "*" dx)
d\ dh , , dv^. „ f du , dv . dxo
dy dy dy \ dy ^ ^ dy ^ dy
dZ dh , ^ dw ,^ „ / du , dv . dw\
dz dz ^ dz \ dz ^ ^ dz ^ dz
les deux dernières équations étant obtenues par symétrie. Nous devons écrire que :
si*-".
En effectuant la somme V nous trouvons après des réductions évidentes, en tenant compte de l'équation de continuité :
d'où
21^ = h-^{Ax + Bi/-{-Gz) = h-^i),
Chdx — C%\)dx = o
/Dc?t = r Ihdi =z
125. Les tubes tourbillonnaires sont de révolution autour de 0^. — Supposons que les tubes tourbillonnaires soient de révolution autour de Oz. Dans ce cas, nous adopterons les coordonnées semi-polaires en posant :
X = p COS cp
2/ = p sin (f z = z.
Par hypothèse, le tourbillon est en chaque point perpendiculaire au méridien.
Si donc a est la grandeur du tourbillon :
\ = — c sincp
Tf| = ff cos (p
