THÉORÈME DE STOKES

Par conséquent :

= f^l^^ ^{cl Ui^ + v^ Jr ^o-î\

L'expression sous le signe / étant une difTérentieile exacte, l'intégrale prise le long d'une courbe fermée est nulle et

(^) di = ''-

7. Remarque. — Ce théorème est vrai, à condition que d<l soit une différentielle exacte, autrement dit que psoit fonction de p, et que les forces extérieures admettent un potentiel, c'est-à-dire qu'il n'y ait pas de frottements. On exprime quelquefois cette dernière condition en disant que le théorème est vrai quand il n'y a pas de forces instantanées; cet énoncé est inexact.

8. Théorème de Stokes. — Pour transformer le théorème de Helmholtz, tel que je viens de le démontrer, je ferai usage d'un théorème dû à Stokes, que je vais rappeler.

Soit une courbe fermée C ; faisons passer par cette courbe une surface quelconque: la courbe G limite sur cette surface une certaine aire A . Soient c/w un élément de cette aire ; l, w, n, les cosinus directeurs de la normale à o^w. D'après le théorème de Stokes, on a :

(10) / [udx -\- vdy -\- icd.z)

f , r, /dw dv\ , (du dio\ , /dv du\~\

la première intégrale étant étendue à tous les éléments de G, la seconde à tous les éléments diù de l'aire A.

14 THÉORÈME DE HELMHOLÏZ

1° Supposons d'abord que Taire A soit plane et située dans le plan des [x. y), par exemple. Dans ce cas :

l =1 m, =■ ù n = l dz = o dut = dxdy,

et il reste :

Judx + vdy =j dxdy (g - ^) 1

C'est l'expression d'un théorème d'analyse bien connu. 11 en serait de même dans les deux autres plans de coordonnées.

2" L'aire A est plane, mais située dans un plan quelconque.

Soient trois longueurs infiniment pe-

tites, OA, OB, OC {/ïg. 3) parallèles aux axes ; joignons ABC ; le triangle ABC est plan et infiniment petit. Je dis que le théorème est vrai pour ce triangle. On a évidemment:

t/ABCA «/ABOA J BCOH J C

CAOC

En effet, les côtés OA, OB, OC sont parcourus deux fois en

sens contraire, et il ne reste dans le second membre que les /

prises le long de AB, BC, CA, comme dans le premier membre; comme les triangles AOB, etc., sont infiniment petits, je puis écrire :

J{udx + vdy -f- wdz) = AOB (J^ — ^j

\az dx)