RDP.1-: DE GRANDEUR DE LA VITESSE
loi
magnétique égal à l'unité. La force que Télément AB exerce sur ce pùle est perpendiculaire au plan PAB et a pour expression :
AB' X i
AB' étant la projection de AB sur une perpendiculaire PA ; i, l'intensité du Fii.'. 3;.
courant, et r la distance AP.
En valeur absolue :
AB' X i ids
Décomposons notre tube tourbillonnaire en éléments de volume et remplaçons cbacun d'eux par un élément de courant. Si (ï est l'intensité du tourbillon, nous devrons donner
au courant une mtensite --3— ,43 \ et par conséquent
ids
adsdix
id-z
dixi étant l'élément de section, cl dz l'élément de volume du tube.
La vitesse aura donc pour limite supérieure :
ach
Décomposons le tube en éléments de la manière suivante : Du point F comme centre, décrivons des sphères concentriques : ces sphères découperont dans le tube des tranches ayant la forme de calottes sphériques. Considérons en parti-
152 MOUVEMENT DES TUBES TOURBILLOiNISAIRES
culier une de ces tranches, limitées par les sphères de rayon r et r + c^^> et l'intégrale
étendue à tout le volume de cette tranche. Soit (s^ la plus grande valeur que prenne <j dans la tranche; tous les éléments de l'intégrale ayant même signe :
r peut être regardé comme constant pour toute l'épaisseur de la tranche. Ce qui permet d'écrire :
<sd-:
Or / c?T est le volume de la tranche, qui en appelant X la section de cette tranche est égal à "kdr. Par suite :
<sdr a^ldr
Soit maintenant doi un élément de la section du tube, et considérons le tube élémentaire engendré par la révolution autour de l'axe de cet élément dio, dl sera la section faite dans ce tube par la sphère de rayon r.
Je vais partager ces sphères en deux groupes : 1° celles dont le rayon est plus petit qu'une certaine limite supérieure au plus grand diamètre e de la section du tube total. Par
ORDHE UF. GRANDF.CR DK LA VITESSE irj3
exemple : je prendrai pour celte limite 2e; 2° celles dont le rayon est supérieur à 2e.
La limite supérieure de la vitesse devient alors :
Dans la première intégrale, A est évidemment plus petit que 47;/'-, surface entière de la sphère. Donc ;
uu :
Gomme toujours, nous supposons le moment du tube de grandeur fmie ; (ï,Q est fini. 5, est donc du même ordre de
grandeur que -•> c'esl-à-diro que - et a.e sera de l'ordre de -• S.2 e- e
Dans la seconde intégrale :
ô étant l'angle sous lequel la sphère coupe le tube [fig. 35) ; 0 est toujours supe'rieur à une | certaine limite O^, difterente de 0. En efTet, Fi? 35
aucune sphère du second groupe ne peut devenir tangente au tube; le contact aurait lieu dans la section méridienne, et le rayon de la sphère serait inférieur à e.
lo4 MOUVEMENT DES TUBES TOUP.BH.LONNAIRES
Par suite :
et
dX < -^sin 0„
o Pin 0„
le premier facteur . ' est tîni ; le second, ^ sm ô„
a dr 1 1
L'intégrale est encore de l'ordre de grandeur de -•
Les deux termes de l'expression (10) sont donc du même
ordre que -? et la vitesse est elle-même dun ordre de grandeur
au plus égal à celui de -•
