CHAPITRE VIII
133. Mouvement permanent. — Supposons que le liquide soit indéfini et les tubes tourbiUonnaires parallèles à Oz. Le mouvement sera évidemment permanent si les Ç sont fonctions seulement de la distance p z= \ jc^ -]- y-.
Autour de 0^, il y aura une série de couches concentriques à l'intérieur desquelles le tourbillon aura une valeur constante.
Soit M un point quelconque {/ig. 36); la vitesse de ce point sera dirigée perpendiculairement au rayon vecteur OM, mené de l'origine à ce point. Au bout du temps dt le point M sera venu en M^, situé à la même distance de 0. M décrit donc une circonférence de centre 0.
Soient ^ la valeur du tourbillon au
point M, à l'instant t; ^', sa valeur en M, au temps ^ -|- dt; Kfy sa valeur en M au temps dt.
Fis. 36.
Iu6 CONDITIONS DE STABILITÉ DU MOUVEMENT PERMANENT Je dis que :
En effet, la molécule, qui au temps f/ se trouvait en M, vient au temps t -\- dt en M^, sur le même tube. Or puur un même tube Ç = const.
De même :
En effet, au temps t, les deux points M et M^ sont sur une même circonférence de centre 0, et par hypothèse Ç ne dépend que de la distance au point 0.
L'intensité du tourbillon en M, est donc constante. Comme M, est un point quelconque, il en est de même en tout autre point, et le mouvement est permanent.
134. Stabilité du mouvement. — Ce mouvement permanent est-il stable?
Autrement dit, si une cause quelconque vient à déformer infiniment peu ces couches concentriques, cette déformation ira-t-elle en s'exagérant, ou bien le liquide tiendra-t-il à reprendre son état de mouvement primitif?
Pour décider de cette question, il nous faut étudier les variations de la vitesse {u,v) dans ces transformations.
Nous avons trouvé d'une manière générale [94] :
en posant
dy dx
^ = — /—— logp.
Si nous passons aux coordonnées polaires, en posant :
X = r cos cp y =z r sin cp,
les composantes de la vitesse deviennent :
dd^ d'b
rdv
135. Cas particulier. - Supposons qu'il existe un seul tube cylindrique dont la section droite soit un cercle, et qu'à rinlérieur de ce cercle Ç soit constant. La vitesse en un point quelconque sera b' à l'intérieur du cylindre, et — ^'^ à l'extérieur, en appelant r^ le rayon de la section droite.
D'ailleurs :
'1 =: Irl log r.
Supposons que le cylindre subisse une petite déformation, le point M, par exemple, vient en M,, et le rayon vecteur O.Vl = * devient une fonction du temps t et de l'angle cp qu'il fait avec un certain diamètre origine O.X^ (fig. 37).
Au bout du temps d/. le point M, sera venu en M,', et ses coor- pj^ 37
données polaires o et s auront subi des accroissements de :
d-^ = -fdt = -^dt,
dt
rdr
IbS CONDITIONS DE STABILITÉ DU MOUVEMENT PERMANENT et
ds = }-dt.
D'autre part, comme 5 est fonction de » et de ^
, ds . , ds , as := -rdo + —rdt; acp ' dt
d'oLi, en remplaçant 6^5 et (/:p par leurs valeurs et résolvant par
. , ds rapport a —
ds cA|/ d'\i ds
^ ' dt rd^ rdr c^cp
Développons .s suivant les mulliples de s d'après la formule de Fourier :
(12) i" =^ >•,, -\- N a„C()5?ja/ -)- 7 è„sinn^.
La surface totale du tube ne doit pas avoir varié; donc le terme constant est égal à >•„ aux infiniment petits du second ordre près ; a„ et ft„ sont des fonctions de t, indépendantes de Ci et très petites, puisque nous avons supposé les transformations très petites. La fonction .}/ est, à une constante près, le potentiel d'une matière attirante qui serait répandue dans
tout le cylindre qui forme le tube, avec une densité — • Pour
simplifier l'écriture, dans ce qui va suivre, nous sui)posons C = 1.
Le potentiel •} peut être considéré comme formé de deux parties : l'une, lo, due au cylindre non déformé ; l'autre, o'|, des parties déformées (ombrées sur la figure 38). L'épaisseur
€.\S l'AIlTICliMKK lo'J
de ces portions déformées elanl 1res faible, le l'Olenticl aura même valeur si, au limi de leur allrihuer une densité cubique constante, on leur donne une densité superdcielle pro[)orti"innelli' à leur é|)aisseur i- — ?\,.
Cette densité superlicielle sera — 3^ — -
> (In cos ?î-ii -|- \ fj„ sin n(ù
Le potentiel o'b sera donc une fonction de r et de o, et nous pourrons écrire :
0'} = /jt',» cos >i'^ -\- y du sin n-jj.
Pour un point extérieur aux couches agissantes, oii vérifie réqualion de Laplace :
Par conséquent :
A (c,i cos }i%) = 0 A [dn sin nzf) = o
Cn et d„ étant des fonctions de r seulement,
Cf, — C,{ / — j- c,, ?
dn = d,: r" 4- d:[ /-".
'^'/n c!i, d^, d',i sont des constantes.
Comme S} ne doit pas devenir infini en même temps que r, il faut que :
Pour un point intérieur, la fonction est difïérenle ; il faut
160 CONDITIONS DE STABILITÉ DU MOUVEMENT PERMANENT qu'elle reste finie pour r = r^; donc à l'intérieur :
Il en résulte que, pour un point extérieur, nous devrons poser :
(14) l']^ = ^(/n (-fj CCS n^ 4- y^h, (^fj sin n» et pour un point intérieur :
(15) o'j; = y^g;,, (^-J' cos»cp + ^h!, (^y sin m.
Le potentiel reste continu i|uand on traverse la surface attirante; les deux formules (14) et (15) doivent donc donner la même valeur pourr =-z r^; ce (|ui exige que :
g', = Un f>n -- h„.
Mais la force, quand on tVancliit la surface, éprouve une variation brusque égale au produit de la densité par 4::. Cette force a pour expression :
1° En un point extérieur :
(^^> ^ = S~ " (t^)" r ^^" '^'' '' ' + ^'" ''" '"^ ' 2° En un point intérieur :
(i'7) ^ = S" (^) ; [Un cos /icp + K sin «cp),
Pour r= /-Q la difl'érence de ces deux expressions doit être égale à 4,t multiplié par l'expression (13) de la densité.
D'où la relation :
— 2 N — (</„ cos n(^-\-h„fi\nn:f) — 2 V (a„ cos no.-}- 6„ sin «<fj. En identifiant les coefficients de cos n^ et de sin n^, il vient :
Si nous substituons ces valeurs dans l'expression de o'}, nous obtiendrons pour le potentiel :
1° En un point extérieur :
(18: .^ = .J/,-f S.} = .|,— ^!j1? {«„cosncp + ^,sinn!p;Y^y';
2" En un itoint intérieur:
(19) ■} = ■}, -^ '^ la, cos «:p 4- b„ sin yr^) (-Ç^Y*.
(en rétablissant le facteur ^ que nous avions supprimé).
Pour /■ =1 /\,, les deux formules se confondent et donnent toutes les deux 'en supposant de nouveau Ç = 1) :
'r' = 'Ici — \j~ '/^« '^'^^ ^^? H" ^« ^^"^ '^?)
<le plus, l'équation (11 1 doit être vérifiée. Or pour /• = i-Q on a :
-y- = V''o ('^i sin ^? — 6„ cos n<ij
—r- = / ,(rt/j sin n<s — b, cos nz>)
ds
-7; = ''0 Tj ^ — "^^ ^'" ^'^ ~^~ '^^'^ ^^^ ^*)-
THhOIiIE DES TOLRUILLO.NS. H
-r- est un infiniment petit du premier ordre; comme nous
négligeons les infiniment petits du second ordre, il nous suf-
cls fira de prendre, dans le coefficient de — les quantités finies.
A ce degré d'approximation, ce coefficient se réduit à :
Remplaçons dans l'équation (11' :
-7- =: — > \a,i%\nirù — è„cosH'i) — •% ( — aa,i?\nn-a-{-nb,^co^n'Sf)
= 2j-^^^-^'^'t-f^s.n,^cp.
En identifiant, nous obtenons les conditions :
Ces équations admettent comme intégrales :
a,i = A sin (1 — ni / + B
Ij„ = Acos(l — u)t ^B
Ces expressions montrent que, si a„ et b„ sont petits au temps ? = 0, ils resteront toujours très petits. Le mouvement est donc stable.
136. Déformations particulières. — Soit une déformation telle que tous les coefficients soient nuls au début, saufa„el6„ : tous les autres resteront constamment nuls.
DÉFORMATIO.NS PARTICULIÈRES 163
La courbe déformée aura comme équation :
(22) s = /'y -|- a,t cos «3, -j- fj„ sin )iv.
Le rayon vecteur présente dune ii maxima et /- niiniina, et la courbe, une série de festons (/?V/. 38).
Quand t varie, la courbe conserve la même forme, seulement elle semble tourner autour de 0:; avec une vitesse égale à (1 — n) Ç. xCT^''^'^^
Si la courbe était plus complexe, vA
c'est-à-dire s'il y avait pUi< de deux ,. 1)
coefficients différents de 0, on pourrait \ :''/
la décomposer en courbes simples cor- "-- . --'
respondant chacune à une valeur de h '' ■*
et qui chacune tournerait autour de 0- avec sa vitesse particulière.
137, Supposons n = 1, il vient :
