DÉFINITION DU TOURBILLON

en appliiiuant ù chacun de ces triangles situés dans les plans de coordonnées l'égalité (4). Or ces triangles ne sont autre chose que les projections de ABC sur ces plans : donc, si

ABC = dio, AOB = Idiù AOC = mdi» BOG = ndi»

et on a bien :

Judx 4- vdy + lodz = j Idoy (^ ~ ^) +

Le théorème est ainsi démontré d'une façon générale, car une aire quelconque peut être décomposée en triangles assez petits pour être assimilés à des triangles plans tels que ABC.

Maxwell a fait un fréquent usage de ce théorème. (Voir son Traité.)

9. Notations de Helmholtz. — Définition du tourbillon. — Helmholtz pose:

dio dv j

dy dz

:il) -;^- — =2r,

du dio dz dx

dv du

dz dy

D'après la formule de Stokes, il vient alors :

C{udx -\~ vdy -{- lodz) = 2 j da» {l^ -^ mr^ -f- nÇ) .

D'après ce que nous avons établi (6), cette intégrale étendue à l'aire A demeure constante pendant le mouvement de cette aire.

16 THEOREME DE HELMHOLTZ

Le vecteur qui a pour composantes [t,, y), l) est ce qu'Helmholtz appelle le tourbillon. Cette dénomination demande quelques explications.

Supposons que la courbe G soit une circonférence {/îg. 4). Par un point M de la courbe menons le vecteur MV qui représente la vitesse ; ses composantes sout {u, v, w). L'expression

udx -f- vdy -\~ wdz

représente le produit de l'élément de courbe MM' par la projection de la vitesse sur la direction MM'. Ce produit représente le travail que fournirait une force égale numériquement à la vitesse, quand son point d'application se déplacerait de M en M'. L'intégrale J est égale au travail que produirait cette force si le point M décrivait la circonférence entière.

Décomposons le vecteur MV en trois autres, l'un parallèle à l'axe OA perpendiculaire au plan du cercle, le deuxième dirigé suivant la tangente au cercle en M, et enfin le troisième suivant le rayon vecteur OM. La composante tangentielle produira seul un travail. Désignons par R le rayon du cercle; nous représenterons cette composante par cpR, cp étant une vitesse angulaire. Posons :

<» m R cos (o î/ = R sin w,

et il viendra :

cpR^ofo),

Soit cpo la vitesse angulaire moyenne le long du cercle,