TUBES TOURHILLON?<AIRES CONCENTRIQUES
Au bout du temps dt, le point intérieur conside'ré aura subi un déplacement dunl les composantes sont :
ndt = -L clf = — B>/d(
dij
vdt = r^ dt = Axdt.
dx
Je puis toujours déterminer deux nombres a et fi, tels que :
tant que « ^^ 6 et A 7^ B.
Le déplacement se décompose alors en deux autres ayant respectivement pour composantes :
-, , ( — {''^ydt = dx ( — ^ydt = dx
iV (2)
( ^axdl = dî/ f xxdt ■— dy.
Le déplacement (1) n'altère pas la forme de l'ellipse. En effet, différentions l'équation de l'ellipse :
'laxdx + "^hydy = — 2ax^bydi -f- Vjij^axdl = o.
Le déplacement (2) représente une rotation autour de Oz. Au bout du temps dt et, par conséquent, au bout d'un temps quelconque l'ellipse a tourné sans déformation.
139. Tubes tourbillonnaires concentriques. — Considérons un tube tourbillonnaire limité par deux surfaces cylindriques C et C, de révolution autour de Oz {flg. 39). Nous admettons qu'à l'intérieur du cylindre C, de rayon r^, le tourbillon a une valeur constante X, -^ XJ \ entre les deux cylindres, une autre valeur constante C ; enfin à l'extérieur du cylindre C, dont le rayon estr^, le tourbillon est nul.
L'effet (le ces deux tubes concentriques sera égal à la somme des effets de deux tubes, dont l'un aurait un rayon r^ avec une valeur du tourbillon égale à Ç, et l'autre un rayon >'o avec un tourbillon X,'.
Chacun de ces tubes donnerait lieu à un mouvement permanent [133] ; si on superpose leurs effets, le mouvement sera encore permanent.
Fig. 39.
140. Conditions de stabilité. — Ce mouvement sera-t-il stable?
Pour nous en rendre compte, nous allons procéder par une méthode analogue à celle que nous avons précédemment employée.
Soit tj/Q la valeur de <]/ : 'Lq ne dépend que de >■, la vitesse
est perpendiculaire au rayon vecteur et égale à -p*'
Si r < >'„, le point est intérieur aux deux cylindres, donc :
dr ' ' ■
Si )\ < r <r^, le point est extérieur au premier cylindre C et intérieur au second C, et :
dr
Entln, si r > r^, le point est extérieur aux deux cylindres,
et
^0 ^ îiii , o^.
dr r r
