CONDITIONS DE STAHILITÉ IST
Pour /• = /'o et r = »'^ ces formules deviennent :
iL = (r + y') r,
dr
dK
^ = ^-f Cr;.
r' En posant— = e, il vient :
Imprimons à C et à G' une petite déformation, de telle sorte que leurs rayons vecteurs deviennent respectivement :
s = /'o -}- ^ rt,i cos wi> + b„ sin wcp ,s = >•,; -f- y rt,; cos nij -\- b,[ sin ncp.
Pour un tube seul, nous avons trouvé comme valeur de i, après la déformation :
•i = ■].„— y '-^ (a„ cos nce + h„ sin ^cp) ( - '
en convenant de donner à /z un signe tel que ce facteur ( - I soit toujours < 1.
Pour les deux tubes, nous aurons :
•i =.];(, — ^ '-^ (a„ cos n« + 6„ sin «cp) (^- j — y '-^ [< cos wï + ^'^ sin ncp) ( —
168 COiNDITIONS DE STABILITE DU MOUVEMENT PERMANENT
Ecrivons, pour chacun des tubes, l'équation différentielle (11), il vient :
ds d'I ds
dl r^ttcp a(f
dt ~ r'^d<^ ■ ^ ^ ^ rfcp
Développons les termes et identifions les coefficients de cos wcp et de sin n-^ pour r = r^ et r = r^. Nous trouverons ainsi les équations (en supprimant les indices n devenus inutiles) :
^^=-aK~- «Te"-^ + na (Ç + C) ^ = - a^e'^ + ^ - aT + ^'« (U^ + Q.
Nous obtenons ainsi quatre équations diflerentielles linéaires, à coefficients constants, pour déterminer les quatre inconnues a, J, a, h' . Les intégrales de ces équations se ramènent à des sommes d'exponentielles, de la forme e*'.
Si a est réel et positif, cette exponentielle croît indéfiniment avec le temps, et le mouvement est instable, puisque la déformation ira en s'accentuant.
Si les exponentielles sont de la forme e-*', a étant réel et positif, la déformation tendrait vers 0, et on pourrait croire que le mouvement est alors stable. Il n'en est rien cependant, car, l'équation caractéristique ayant ses racines égales et de
CONDITIONS DK STABILITÉ 46!*
signe conlraire, nous ne pourrons avoir d'exponentielle? e" sans avoir en même temps d'exponentielles e+*'.
Par conséquent, il y aura instabilité toutes le^ l'ois que l'équation caractéristique a une racine réelle.
Si les racines sont complexes, de la forme % -f- V — 1?. les exponentielles seront de la forme :
Q<x^\l--\'^t — gxt (cos ^( -{- \l— 1 sin U),
et il y en aura encore au moins une dont le module croîtra indéfiniment. Le mouvement sera encore instable.
La condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait stabilité est donc que toutes les racines de l'équation caractéristique soient de la forme :
a étant réel. Les intégrales sont alors une somme de termes tels que :
gv'-(a< — co^xt -\- \l — 1 sin «<,
qui restent finis.
Nous avons donc à chercher les conditions pour qu'il en soit ainsi.
Posons pour abréger :
a = ^ — « (!: + Q 3 = Ci"-' Y = ^s" + '
170 CONDITIOISS DE STABILITÉ DU MOUVEMENT PERMANENT Les équations (23) deviennent :
da , .
dt - '•'"^ ...
di - ^!^ -^ ''^
db
= art — fjrt
db- ^ ,
Posons encore :
"ka -\- l'a' = X
Ab -j- l'b' =z y,
A et X' étant deux nombres que nous nous réservons de déterminer convenablement.
Multiplions les deux premières équations (24) par X et X' et ajoutons-les, il vient :
f = M^a -K X'y) -h b' (Xp + X'S).
Je choisis maintenant X et X' de façon que le second membre se réduise à Sy.
X et X' seront donnés par les équations :
Xa + X'v = SX X^ -f- X'§ = SX'.
Si on a trouvé X et X' satisfaisant à ces conditions :
dx ^
CONDITIONS DE STARILITÉ {'A
En opérant de m^-me sur les deux dernières équations du système (24), on trouverait :
^ - — Sr cft ~
Nous obtiendrons la valeur de S en écrivant que le déterminant des équations homogènes en X et en À est nul. S sera donc une racine de l'équation :
Cette équation est du second degré ; soient S et S, ses racines :
À, X'. X, y les valeurs correspondantes à S ^n ^'o ^P Vk '' '' ^1-
Nous aurons :
dx.
dl - ^' '•
L'intégrale générale de nos équations sera alors :
X = k sin (S< + B)
y = A cos (S^ + B)
x^ z= A, sin(S,^ -f B)
y^ = A,cosfS,/-f B).
Si S est réel, le sinus et le cosinus restent finis, et il y a stabilité.
172 CONDITIONS DE STABILITÉ DU MOUVEMENT PERMANENT Si S est imaginaire, S = s -[~ V^ — i^^,
sin et = e'" {cos st -j- y — 1 sin si).
Le module croît indéfiniment avec i; le mouvement est donc instable.
La condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement soit stable est donc que les racines S soient réelles.
Développons l'équation en S :
S2 — S (x -f- 8) + a5 — py = o.
Les racines seront réelles si :
(oc 4-5)2 — 4 (aS — fiy) > 0 ou
Remplaçons a, f,, y, 8 par leurs valeurs :
[l - n (Ç + t) -K' + n (Çe^ + (;')]2 ^ 4^ç'£2« > q.
Cette inégalité doit être vérifiée pour toutes les valeurs entières de n.
Remarquons d'abord que, si les tourbillons C et Ç' sont de même signe, cette inégalité a toujours lieu. Dans ce cas, le mouvement est toujours stable.
141. Nous ne ferons pas la discussion complète de l'inégalité. Nous considérerons seulement le cas particulier où .
Ce2 + C = 0.
Cette condition exprime que la vitesse (^e^ -f C) ~r' en un point extérieur à C, est nulle avant la déformation. Choisis-
