APPLICATION A UN CAS SIMPLE

D'autre part :

^^ =/ e " FVa,

donc :

flZ h cPZ^ dt ~ A dx'^'

D'une manière un peu plus générale, considérons l'intégrale :

Z = f Ce /' F (ic + a \/t, y + oc Vt'j r/af/.8.

Si, pour un instant, nous regardons y et t' comme des constantes, Z est fonction seulement de x et de t, et d'après ce qui précède :

d-z 4 dx^ Si de même nous regardons a; et x comme des constantes :

dZ h d^Z di' ~~ 4 di/'^'

D'autre part, nous avons :

dZ dZdT

dt ~ d-c dt "^ dx dt "~ d-z ' d-z

dZ dZdx fJZdx^__dZ dZ

^t ^; rit "1 ^1' rit rl^ l" /7^''

Il nous suffit, pour identifier cette équation avec l'équation (12), de poser :

K étant essentiellement positif.

En prenant ensuite

nous pourrons calculer î; à un instant quelconque.

Pour choisir la fonction F, il faut connaître la valeur de C à l'origine du temps, car pour t := o

Co =ffe 'h~ ¥{x, y] d7.d^ = F{x, y)ffe ~ " dxd^.

Or;

e A dcnd^ = -5

et par conséquent

équation qui détermine F.

Si la valeur initiale de ^ ne dépend que de r, F ne dépendra non plus que de r, et il sera possible de déterminer ^ à une époque quelconque, si rien ne vient déranger la symétrie, ou si les conditions de stabilité sont remplies.

158. Théorème de Helmholtz dans le mouvement relatif. — Le théorème de Helmholtz exprime que l'intégrale

J = judx -\- vdy -\- lodz

est constante quand il y a une fonction des forces. Dans le cas du mouvement relatif, il n'y a plus de fonction des forces : le

THÉORÈME DE HEL.MHOLTZ DANS LE MOUVEMENT RELATIF 203 théorème n'est plus vrai. On a :

avec

clt=fi'^ + '^

quand il existe un potentiel V.

S'il n'existe plus de potentiel

d']^ = Xdx + Ydy -\- Zdz — -^^

Si le mouvement d'entraînement est par exemple une rotation autour de l'axe terrestre avec une vitesse angulaire Wq, on aura :

Xdx -f- Ydy -f Zdz = dV + 2wo {vdûo — udy)

d'après le théorème de Coriolis, en comprenant dans le potentiel V la force centrifuge ordinaire, l'axe des z étant l'axe de rotation. Il vient alors :

j- = f{dy -f- dT) -f J2(0o {vdx — udy). La première intégrale est nulle, et il reste : — = 2(1)0 / ("<^^ ~ udy).

Soit C la courbe d'intégration ; projetons-la sur le plan desœy; soit A l'aire limitée par celte projection {/îg. 43), soient M et M' deux points infiniment voisins : les projections de MM' sur les trois axes sont dx, dy, dz. Au bout du temps dt,

les diverses molécules qui se tronvaienl sur G viennent sur G' et, en particulier, M vient en M^ et M' en M\. Les projections de MM^ sont udt, vdt, ivdt. Le quadrilatère MM'M^M^ est assimilable à un parallélogramme dont la projection sur le plan des xy limite une aire égale à :

dt [vdx — udy).

L'intégrale

Fis. 43.

dti [vdx — udy)

dk représente donc la variation -r-dt de Taire A pendant le temps

dt. Par conséquent

di dk

dt ^dt

J = 2woÂ -\- const, et si Jq et A^ sont les valeurs initiales de J et de A, on aura :

Jj, =1 2coqAo -f~ const J - Jo = 2coo (A - k,).

Soit [fîg. 44) un cercle de rayon r„.

Les molécules situées sur cette circonférence sont primitivement en équilibre relatif par rapport à la surface de la terre. Donc :

Fig. 44.

Âç = Trrjsin >,