THÉORIE DE CALCUL
que les arêtes saillantes de la première et de la dernière marche (lignes de départ et d’arrivée ) sont perpendiculaires à la cage, R, R 7 , R",. . R„ deviendront les rayons de courbure des différents points de la cout;be, et les formules (26) et (27) donneront :
Si l'on n’arrondit aucun angle de rebroussement ,
011 devra prendre — ou 4- suivant que l’angle de rebroussement tournera sa convexité ou sa concavité vers la ligne de foulée.
Si Von arrondit tous /es angles de rebroussement , la formule (27) relative à ce cas deviendra
2(ra — P)~ 2 p, [2 col^ — jr (l — *)]
Nous ferons remarquer ici que les termes facteurs de cot<|*, et qui proviennent des angles de rebroussement concaves vers la ligne de foulée, 11’entrent dans ces formules que par approximation. En effet, quand le polygone se change en courbe, les droites sd , ou Vd de la fig. 6, qui introduisent cott|i, deviennent les arcs de courbe sd , V' sd [fis- l)- U est évident, aussi, qu’on diminuerait l’erreur en n’arrondissant pas les angles de rebroussement concaves v;ers la ligne de foulée, car alors on aurait p , = o. Quant au raccordement, comme il 11e pourra généralement s’opérer par des arcs de cercles , on mènera sur les deux côtés do l’angle de rebroussement, d’un point O pris sur la bissectrice, des perpendiculaires üz, OV égales à p,, si toutefois les tangentes sx , sy (fig- 7) s’éloignent peu de la courbe.
DES ÉLÉMENT!» DES ESCALIERS. 35
on prolongera ces normales jusqu’en z' et Y', puis on raccordera les deux courbes en ces deux points, en employant, par exemple, un arc de parabole tracé comme dans la fig. 8. Si les deux tangentes , ou seulement l’une d’elles, s’écartent rapidement de la courbe, d’un point pris sur la bissectrice de l’angle de rebroussement on mènera des normales très- peu différentes de p,, soit sur les deux branches de la courbe , soit sur l’une des branches et l’autre tangente, si cela est praticable , puis on opérera le raccordement comme nous venons de le dire.
Il est bon de remarquer que les parties droites de la cage
n’introduisent aucun terme dans les intégrales J >
dA
ÎT
qui entrent dans u.
13. Les intégrales ci-dessus peuvent s’obtenir, dans chaque cas, sans qu’il soit nécessaire de connaître la nature de la base curviligne de la cage. En effet, considérons une branche de courbe qui ne présente aucun point singulier dans tout son parcours : nommant 0 l ’ angle relatif à cette branche de courbe (c’est-à-dire l’angle formé par les normales extrêmes), d A, d A’, d A", etc., ses éléments infiniment petits, R, R', R w , etc., les rayons de courbure, et dQ , d6\ d9 ", etc., les angles consécutifs correspondants compris entre ces rayons , nous aurons évidemment
— — fit) ,
IF
Ajoutant ces égalités membre à membre, il vient
d’où l’on conclut que Y intégrale — a pour valeur l\
de cercle décrit, avec. V unité pour rayon, entre les deux
arc
normales extrêmes, du sommet de cet angle pris pour
centre.
Il suil de cet énoncé que j* ^ conserve la même valeur pour toutes les courbes convexes terminées à deux nor-
males communes. L’intégration directe de au même résultat.
Çd A
conduirait
i*i. Si la cage de l'escalier n'a pas de point singulier, la valeur de u deviendra
et pour que cette valeur convienne, il faut et il suffit qu'on ait à la fois
r étant le rayon de courbure minimum. Ces deux conditions étant développées, donnent
