Soirtit A.r, F y (fig- i) les projections des arêtes
saillantes et antérieures de la première et de la dernière marche. Ayant construit un polygone équidistant du premier, il est évident que les sommets de ce polygone seront situés sur les bissectrices des angles de celui qui sert de base à la cage. Ayant encore construit un nouveau polygone équidistant du précédent , je mène de ses différents sommets les perpendiculaires b'b , c'c, etc., puis des points c', etc., et avec b'b pour rayon , j’arrondis les angles du polygone af 3y . . .f, comme on le voit sur la figure. Cela posé, je fais
AB= A, BC = A', CD = A", . . . , EF=A„, xP = R, :S = R', u T=R",..., ^Q = R„,
AP = p , BP = a , FQ = q , EQ = a „ , b' b — ce — d'd = ... = p, bb' b = y , cc'c = <p', • dd' d = y", . . . , Pp = u,
et les triangles semblables de la figure donneront successivement :
a P = P - \ h P= « — ^ (f-P «)> bc — A' — (p 4- u), cr/ = A"— ^ 7 , (p4- «),
cq =«,-^(p + «) ,
fq ~ q ~~ h n '
(y 4- y' 4- y" 4- • . .) p pwp-
Ajoutant ces égalités membre à membre, nommant 2CT et
2 P les longueurs de cage et de ligne de foulée terminées
aux arêtes Ax, posant, pour abréger,
R + R' + R 7 ' h R„ JL ‘ R 5
il vient
d’où l’on tire
Dans cette formule, les quantités p et q devront être regardées comme positives ou comme négatives, suivant qu’elles seront comptées en dedans ou en dehors des angles
AxB, E/F.
Remarque. — Les triangles semblables de la ligure donnent encore :
A' b (3 -+- cy
A" c y + rfi
a n Cs
Ri. R|1
Ajoutant ces égalités membre à membre, il vient
A p q b$b- J rcqc-\-... + eic
‘ R' R ~ Rj ~ ~ t~
par conséquent, si l’on juxtaposait à la ligure bb'h successivement les ligures ce' c , rld'il , eeV, on formerait au-
io
THÉORIE Dli CALCUL
tour du cercle décrit du point b' avec p pour rayon, un polygone dont le périmètre C donnerait
C A jj (j
Comme le rayon de ce cerclepeut être arbitrairement choisi, si l’on prend p = i, on aura simplément
On remarquera aussi que l’angle tourné du côté du polygone ainsi formé, et compris entre lés rayons extrêmes, sera égal à y -+- ip'-f- y" -h....
Si l’on tenait à mesurer, sur la même figure , les quantités^? il suffirait de mener les lignes b'a, e'g, res- H.
pectivement parallèles aux arêtes de départ et A' arrivée de l’escalier Ax, Fy, car on aurait évidemment
jj a. p <j cg
J -a construction de ce polygone auxiliaire permettra d’abréger, dans la pratique, le calcul des formules qui servent à déterminer les éléments de l’escalier.
Remarque. — La valeur de P que renferme la formule ( 4 ) pourrait n’y entrer que par approximation ; cela aurait lieu évidemment si Ax passait entre les points b et [3. Mais celte circonstance, qui n’aurait d’ailleurs, dans la pratique, qu’une importance médiocre, est d’autant moins à craindre que, généralement, les arêtes des marches extrêmes sont ou normales à la cage, ou peu inclinées Sur celle-ci.
Soient maintenant r la plus petite parmi les perpendiculaires R, R', R", . . . , R„, £ la longueur de la plus petite marche ou l’ emmarcheinent , s ce qu’il faut ajouter à u pour former s (nous prendrons s = 48 ou 5o centimètres); comme
DES ÉLÉMENTS DES ESCALIERS. 1 I
on doil avoir p> s , il faut et il suffit, pour que le problème soit’possible, qu’on ail à la fois
Développant ces deux conditions, on trouve
p >M F+ R + îl)"= r 2a + n
pour m + /»<r,
pour it > o.
Remarquons maintenant que
substituant ces valeurs dans l’équation (i), il vient P = (o"‘,32) a — H — ( o m ,32 — ^
= (n — i) |jo,32) — — J-
Substituant cette valeur de P dans les limites ci-dessus, et observant que - g = o m ,32 — — » on trouve, en résolvant
par rapport a n,
hw+ î p ( fMr + R + é)
Si dans la limite inférieure de n on remplace ' g par sa valeur maximum, et si , dans la limite supérieure, on rem-
THÉORIK DU CALCUL
place de même - g par sa valeur minimum, ou aura des
limites qui conviendront nécessairement à l’escalier, mais qui pourront ne pas renfermer toutes les solutions du problème; on obtiendra ainsi
Si dans la limite inférieure (6) on donne à g sa valeur minimum, et dans la limite supérieure sa valeur maximum, on aura des limites plus larges que les précédentes, qui pourront être les limites exactes de n, et qui seront telles, que toute valeur qui leur serait extérieure 11e conviendra pas à l’escalier; comparant les limites ainsi obtenues avec les limites (7), on reconnaît que, pour passer'de ces dernières aux premières, il suffit de retraucher de la limite inférieure, et d’ajouter à la limite supérieure
Si les limites qui résultent de celte correction 11e comprennent aucun nouveau nombre entier, les limites (7) seront les limites exactes de n ; dans le cas contraire, les valeurs entières introduites par la correction (dont le nombre ne saurait évidemment surpasser 2) seront des solutions douteuses du problème , et si l’on veut y avoir égard, il faudra recourir soit aux limites exactes de n , soit à des formules de correction qui n’introduisent aucune solution étrangère au problème.
Pour obtenir les limites exactes de 11 , posons, pour
UES ÉLÉMENTS DES ESCALIERS
abréger,
*=Mr~i+£r2i)-
X = (3,i25) (H -+- ct + o,32 -+- S), l'i (3,125) (H+» + o,32 -+- S'),
Remplaçons ensuite, dans les formules (6), par sa valeur - e = o, 3a — -, et nous aurons à satisfaire aux deux 2 S n
conditions
n 1 — ls + R>o,
Pour cela il suffira de prendre, relativement à la première ,
ou n -
et, relativement à la seconde,
Je dis maintenant qu’on aura
en effet , les quantités X , X' étant positives, puisqu'elles surpassent respectivement les limites des nombres de marches, on trouve, après quelques transformations,
l4 THÉORIE DU CALCUL
relation qui se trouve vérifiée d’elle-même. Il suit de là que
les limites de « seront
*>ï‘ , -vFï-'
On peut maintenant s’assurer que les deux dernières limites de n ne sauraient convenir en aucun cas. En effet, posant
^ — P sera une quantité plus petite que la limite inférieure de n, et il suffira de faire voir que la relation
,>lv-y/‘'-k
sera toujours vérifiée d’elle-même. En elïet, on trouve, en réduisant ,
Cela posé, si -X)>p, la condition précédente se trouvera
vérifiée d elle-même; si -X <^/>, ou aura, en transposant et élevant ensuite au carré,
Mais — ~> p ; car, dans le cas contraire, on aurait
OU H <( O m , I 25 ,
ce qui est absurde; donc finalement,
ce qui est contraire à l’hypothèse. Ainsi les limites exactes de n sont
Pour passer facilement des limites (7) aux limites (8), nommons / et l ' les deux premières limites, et posons
r+«’=iv+y/jl'-K;
en faisant, pour abréger,
nous aurons et, par suite,
Sl'—f' “
•' r + sr
Comme, par la nature des limites l et l', les quantités àl et âl' doivent être , la première négative, la seconde positive, en les supprimant au dénominateur, oti aura des va-
leurs
qui n’ introduiront dans les limites particulières de n aucune solution étrangère au problème (*).
Pour obtenir les diverses solutions du problème , on calculera donc à la fois :
i °. Les limites particulières de n , c’est-à-dire les limites de n relatives à la cage proposée ;
2 °. Les limites générales de- n répondant à la même hauteur de palier H ; alors tous les nombres entiers compris à la fois entre les limites particulières et. les limites générales conviendront à l’escalier proposé.
Remarque. — On aurait pu résoudre le problème en employant des rayons différents pour arrondir les angles delà ligne de foulée; mais la solution de cette question trouvera mieux sa place dans les escaliers à cages curvilignes. ( Voir n° 15, première remarque.)
* 5. Appliquons les formules précédentes à quelques cas particuliers; supposons, par exemple, que la ligne de départ de l’escalier coïncide avec la ligne d’arrivée ; Ax (fig. i) étant cette ligne, nous aurons, par les triangles semblables de la figure.
AP AQ Pj: Q/
en observant qu'ici
AP = p, AQ = — <7 , P.r = R, Q/ = R„.
( *) Si Von veut avoir des valeurs de S l et de il' plus approchées , il suffira évidemment de remplacer dans les formules (9) l et V par les valeurs de ces quantités qui résultent de la première correction , et ainsi de suite.
On aura encore
BS BP FS FQ /»S — Px’ «S Qjr !
ajoutant ces égalités membre à membre, et faisant remarquer que AB = A, AF = A„, il vient, en posant BF = A, , m S = R , ,
et comme clans ce cas p ™ 2 a cause que le polygone est fermé, la valeur de u et les limites (7) de « deviennent
Dans ces formules, A , A', A", etc., représentent les divers côtés du polygone; R, R', R", etc., les perpendiculaires abaissées sur ces côtes, des points de rencontre des bissectrices des angles.
Nous ferons remarquer, une fois pour toutes, que les limites exactes de n seront données, dans chaque cas, par les formules (8) , en attribuant à S et à S' des valeurs convenables : mais on arrivera plus vite par l’emploi des formules de correction (g). Dorénavant nous nous bornerons à déterminer les limites restreintes de n.
Pour donner une application des formules (4) et (7), supposons qu’on veuille calculer les éléments d’un escalier dont la cage (fig. 3 ) est EDGF, mais auquel, pour une
cause ou pour une autre , on veut donner un certain reculementEC. L’escalier devant avoir pour ligne de départ Ca*, et pour ligne d’arrivée F y\ posons ED = B, 011 = /, EC ~f, nous aurons, dans ce cas,
et les formules (4) et (7) deviennent
I " = ( B + l ) + 4 (/-+- irp — 2P) — f,
(3,125) |^H -+- R -+- /-+- ~/+ 0,20 — ^2/ — np'j |,
Appliquons ces formules à un exemple numérique : prenons
supposons que la maison ail trois étages, et que les hauteurs consécutives des paliers soient
Occupons-nous d’abord de la première volée. Cela posé, nous trouvons, à l’aide des deux dernières formules (ti), que les limites particulières de n sont
on a aussi , pour les limites générales,
les seuls nombres qui conviennent au problème sont donc u — 22, n — 23,
de sorte que la question admet deux solutions; prenant
UES ÉLÉMENTS DES ESCALIERS
n = 22, les éléments de l’escalier sont
n — 22, // = i5 c ,yi, g = 3?. 1 ',i8, P = 3 m ,378y,
Déterminons maintenant les éléments des deux autres rampes; comme pour celles-ci, la courbe de giron doit être la même que la précédente, moins le reculement; en supposant que le bord des deux autres paliers se projette sur EF, il faudra déterminer n de manière à remplir cette condition. Supposons que les quantités P, H, n se rapportent à une rampe dont les éléments ont déjà été obtenus, par exemple à la première; nous aurons '
D’un palier à l’autre, les quantités P, 11 , «éprouvent généralement des variations peu considérables; alors, si l’on néglige les quantités du second ordre par rapport à â n , 011 aura
« [ « iî P -f- ( « — i ) <î H ] a 3 (o,3?.) — H
dans laquelle on substituera pour â P sa valeur tirée de l’équation de condition d« = o, lorsque cette quantité â P ne sera pas connue à priori. Ayant calculé â n , on la remplacera par le nombre entier positif ou négatif qui en diffère le moins, puis on l’ajoutera avec son signe à la valeur de 11 trouvée pour la première volée; le résultat obtenu sera le nombre de marches relatif à la nouvelle rampe. En divisant par ce nombre la nouvelle hauteur de palier, et par ce nombre moins un la longueur de la nouvelle ligne de foulée, on aura les quantités h et g, et si h est compris entre 1 2 et 20 centimètres, g entre 24 et 4 l > centimètres, on les adoptera; car, d’après la manière dont nous avons cal-
