TROISIÈME PARTIE
La température des naines blanches déduite de l'absorption de la couche d'hydrogène
Un bref résumé de la théorie de l’ionisation, et du transfert d’énergie, nous permettra de légitimer les formules d’approximation employées.
22. LA THÉORIE DE L’IONISATION THERMIQUE. — [La théorie de SAHA (2?) nous donne le nombre d’atomes ionisés par ionisation thermique, dans un gaz de densité p et de température 7.
Rappelons sommairement cette théorie. Des atomes neutres et ionisés, excités ou non, et des électrons libres constituent un gaz parfait où s’établit un équilibre statistique entre les différentes particules. La théorie de SAHA est une théorie statistique, qui ne se préoccupe pas des dimensions des atomes, ni des processus d’ionisation ou d’excitation. Elle tient compte des poids statistiques des groupes d’états de même énergie.
Lorsque la température croît, l’ionisation croît. Elle décroît quand la densité croît : la température et la densité ont des effets contraires. La formule de SAHA appliquée brutalement à un gaz de grande densité, mais non dégénéré (je veux dire par là de dégénérescence faible), donne un faible nombre d’atomes ionisés.
23. L’IONISATION AUX GRANDES DENSITÉS. — Il est évident que lorsque la densité croît, le volume moyen laissé à chaque atome neutre décroît. La probabilité d’existence d’un atome dans un état excité est d’autant plus faible que la densité est plus grande et que le niveau est plus élevé. |
La théorie de FERMI (>) évalue le nombre d’atomes dans les différents états quantifiés, en tenant compte de leur volume (méthode des volumes exclus). Une autre méthode consiste à étudier l’influence des atomes voisins en s’inspirant de la théorie quantique des métaux (2). D’après cette théorie les états d’énergie sont d’autant plus modifiés que les atomes sont plus proches les uns des autres. Les niveaux discrets d’un atome isolé sont étroits, mais quand la densité croît, les niveaux s’élargissent en bandes. La largeur des bandes est d’autant plus grande que les niveaux sont plus élevés, si bien qu’au delà d’une certaine bande, toutes les bandes se recouvrent
(2) On trouvera la théorie de SAHA exposée dans : Les Étoiles de G. BRuxaAT ; Stellar atmosphür de UxsôLp.
(#3) FERMI, Zts. f. Phys., 86 (1926), p. 383, p. 902 ; Atti Linces (6), 3 (1926), p. 145.
(24) Méthode employée par Morse, Ap. J., 92, 27, 1940.
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et les niveaux supérieurs ressemblent plus à des états libres que liés. En d’autres termes, à une densité donnée, il y a une limite inférieure de l’énergie, au-dessus de laquelle les états initialement liés sont maintenant libres. La limite inférieure des états libres des électrons s’abaisse quand la densité croît, et pour des densités suffisamment élevées les états liés sont tous absorbés par les états libres. Cet effet à été appelé « ionisation de pression ».
La théorie sommaire de FERMr indique que pour l'hydrogène à la densité 1, le nombre d’atomes d'hydrogène neutres est de l’ordre de 102 fois plus petit que ne l’indique la théorie de SAHA.
Morse (24) à employé la méthode de THoMas-FEermr (*) pour calculer aussi exactement que possible la limite inférieure des états libres (mélanges d'hydrogène et d'éléments lourds).
La densité croît rapidement de la surface vers l’intérieur des naines blanches, L'ordre de grandeur de lionisation de pression, indiqué ci-dessus pour l'hydrogène nous autorise à admettre que dans toute l’étendue de la couche d’hydrogène qui entoure les naines blanches, les électrons sont libres (au sens donné ci-dessus).
24. LES PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT D'ÉNERGIE. — Supposer dans l’évaluation de l’opacité de la couche d’hydrogène que celle-ci est complètement ionisée, n’est pas seulement une hypothèse simplificatrice, mais correspond à la réalité physique.
L'évaluation faite plus haut de l’ordre de grandeur du nombre d’atomes d’hydrogène neutres existant à des densités élevées, nous autorie à le négliger : ce nombre est si faible qu’il n’est pas besoin de le connaître avec précision pour le négliger.
Le transfert d’énergie par rayonnement dépend, pour l'hydrogène, principalement du nombre d’électrons libres (à cause du faible potentiel d’ionisation de l'hydrogène). C’est ce que montrent les calculs de STROMGREN (2). Le fait de l’ionisation totale simplifie notablement les calculs.
Le transport d’énergie par conductibilité thermique devient très important dès que les densités deviennent notables. Pour la conductibilité thermique, comme pour la conductibilité par rayonnement, les calculs ne sont praticables que dans deux circonstances : lorsque le gaz d'électrons à les propriétés d’un gaz parfait, ou qu’il est très fortement dégénéré. Le domaine de dégénérescence moyenne est mal connu.
L’opacité est plus faible dans les mêmes conditions de densité et de température pour le gaz dégénéré que pour le gaz parfait (c’est-à-dire quand on emploie les formules relatives au gaz dégénéré), car dans le gaz d’électrons dégénérés, les transitions permises de faible énergie sont moins nombreuses, les électrons obéissant au principe d'exclusion. Il est évident que la conductibilité thermique croît avec la densité. Cette
(25) Il s’agit de la méthode du champ self-consistent. (5) STRÔMGREN, Zeit. f. Ap., 4, 118 (1932).
dernière devient prépondérante dans les régions de forte densité. Nous voyons donc
d’après KorxaRt (15) que la conductibilité croît dans les régions de forte densité. En
d’autres termes, le gaz d'électrons est transparent à l’énergie. On pourra donc, simpli-
fiant à l'extrême, décrire de la façon suivante les couches extérieures de l’étoile : Dans la région de dégénérescence, on annule le coefficient d'absorption :
(151) ; Ko =D,
c’est-à-dire que l’on suppose la température de l'étoile uniforme dans toute la région de dégénérescence.
Dans la région de gaz parfait, au contraire, on pourra se contenter de tenir compte : seulement de l’absorption du rayonnement par le gaz parfait d’électrons libres, en présence de noyaux, ce qui se représente par la formule :
(152) x = XTp 5,
x étant le coefficient relatif au gaz d'électrons libres en présence de protons. Ce coeffclent xest donné par la théorie de CHANDRASEKHAR, STROMGREN.... :
- 25. CONFIGURATIONS POSSIBLES. — Suivant l’épaisseur de la couche d'hydrogène des naines blanches, de petites différences de structure apparaissent. Trois configurations sont possibles (fig. 5).
Si l’épaisseur de la couche d'hydrogène est suffisante, la dégénérescence prend
FiG. 5. — Dispositions relatives des surfaces $ et Z.
naissance dans la couche d'hydrogène, et l’on rencontre successivement une région d'hydrogène N D ; une région d'hydrogène D ; le mélange de Russell dégénéré.
Si la couche d'hydrogène est plus mince, la région d’hydrogène dégénéré peut être inexistante. On passe directement d’une région d'hydrogène ND au mélange de Russell D.
Si la couche d'hydrogène est très mince, l'hydrogène est ND. On rencontre une couche d’hydrogène ND, le mélange de Russell ND et la dégénérescence n’apparaît que dans le mélange de Russell.
Nous calculerons les relations nous donnant la température des naines dans ces trois cas.
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26. — Le coefficient d'absorption x est la grandeur essentielle pour le calcul. Le coefficient d'absorption par gramme de matière dû aux électrons libres, provenant d’un atome de charge Z, est (5) :
8r°0, efh? Z2 p Ce # 315030, (2m) En Ag TT DE=SLO0128, log 6, — 0,0059, 0, — 1,0823, log 6, — 0,0343, e — charge de l’électron, en u, e. s. loge — 10,6813, h — constante de Planck, log À —27,8209, c — vitesse de la lumière, log c — 10,4768, m — masse de l’électron, logsme= 28,9593, my —= masse du proton, log My — 24,2239, k — constante de Boltzmann, log Eu 16,1396,
Z = numéro atomique,
Amy — masse du noyau,
um, = masse par électron libre, p = densité, T = température absolue.
Dans le cas de l’hydrogène, Pile A-= 1, et l’on a :
(154) ENT CR 0 D avec : É
C’est cette valeur qui nous servira dans tous nos calculs.
27. ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE DE LA COURONNE GAZEUSE. — Les équations d’équilibre de l'étoile sont :
(156) : = — ge,
ee, CUS (157) SU
Nous pouvons supposer la luminosité constante dans toute la région étudiée, ainsi que l’intensité g du champ de pesanteur, et prendre r = R, rayon de l'étoile.
Nous étudions ce qui se passe au voisinage de la surface de l’étoile, à une profondeur k = R — r, et nous supposons k petit devant R.
La pression P se réduit à la pression de gaz parfait du mélange d’électrons et de protons, la pression de radiation étant négligeable :
RoT
R = constante des gaz parfaits.
1 = nombre d’unités de masse atomique par particule libre (poids moléculaire moyen). Dans lhydrogène un = 1/2.
Les relations (156) et (157) peuvent s’écrire :
ee *
(159) F . F ART d 1 #Ho0-12 es UT
(LED) dr 30 4rR?c à
Nous prendrons comme conditions aux limites p — 0 ; 7 — 0 à la surface de létoile, et on peut intégrer le système (159) (160) en posant :
(161) es p—=qh"; on à immédiatement :
= — DEUST 2ge (162) 1, DR 4rR?c 4 DE 15/2 due XoL d
Évaluons numériquement ces quantités, et exprimons masse, rayon, luminosité en unités de Soleil.
Température : |
, M AR (163) m = oasar # Densité :
= gCA ya, — [36,8791]R-%2L-12mn54, (164) p = [0, n5Gpe-ag-egnen( ARTE,
28. CALCUL DE LA TEMPÉRATURE. PREMIER CAS. — Tout d’abord définissons la
surface À d'apparition de la dégénérescence : à l’extérieur le gaz d’électrons n’est pas dégénéré, la pression P est liée à la densité p et à la température T pee (156) Poe (L
à l'extérieur, le gaz d'électrons est dégénéré, et on néglige la pression du gaz de noyaux ; (165) P = Kpue
avec log,, À = 12,996.
Il reste une part d’arbitraire dans la définition de la surface ZX. On sait que l’on est dans une région de non dégénérescence, lorsque dans l’expression (8) :
47? æ(x? + 1) (Omc?)? f(x)
(8 bis) > 1
et dans une région de dégénérescence quand cette expression est « 1. Si on définit la surface Z d'apparition de la dégénérescence par la condition d’équilibre de pression entre les deux régions D et ND :
