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en sorte que l’on ait G — ut ; soit u ~ vt l’angle que fait avec la ligne des équinoxes le rayon R qui va du centre du soleil au centre de la terre; soit enfin i = 23° 27' 30" l’inclinaison de l’axe de la terre sur l’axe de l’écliptique. 11 existe entre toutes ces quantités les relations suivantes, faciles à établir :

771 = R cos. U == R cos. vt ^ . n == R sin. « = R sin. vt

^ ' a = cos. G b — — sin. G c = 0

I a' = sin. G cos. i b' — cos.Gcos.e c' ~ — sin.

a"— sin Gsin t é" = cos.Gsiii. i c" == cos. r

Par la différentiation des équations (1), nous obtiendrons ;

dx dm

dx'

dy'

dz’

dt * + dt + * d/ + dt + dt db de + ^' dt

dx' , ,, dy'

dz'

Zt; iiT +

fit df/

de'

da'

,, dx' du' dz' da"

dt^ dt

5T^ + * rf<’~ + rfF J

n , d'a d b rf c~I

ÎT +‘'* J

/ rfo:' rfa dy’ db dz dc\

■*■ dt ~dt dt dt dt dt )

r , -,,^v , ,dvn

+rx'^'-4-«'^^'4.

/rfx' da' rfy' db' dz dc'\

+ W^dF dt ~^Tt lit )

dt^ ''

^ rf^^ ^ rfr J

r „rfv

[ rf /“ f ~ rf a " rf '/-" , rf ^■"“1

+ L'' rfF + '^'^ + "'rfrJ

jrff'rfa" rfv'rf//' (lz'dc"\

^ rfr rf? ' rf? rff /

Il est possible (jue la niasse de la terre exerce une attraction F faisant des angles a ^.y.avec les axes des X, des y et des z sur cliacune des molécules du fluide éthéré, dont nous prendrons la masse pour unité. Soit N la résistance que cliaeune de ces molécules rencontre en pénétrant dans l'intérieur de la terre ; celte résistance dépend de la conductibilité du sol, et proba-

blement aussi de la vitesse relative de la molécule. Soient X, v, les angles que fait sa direction avec les mêmes axes. Nous pourrons remplacer, dans les équa-

tions (4),

dF’ ’ dr P“- N - F «.

N cos. — F cos. ]3, N cos. v — F cos. y. Si, après cette substitution, nous ajoutons les trois équations membre à membre, après les avoir multipliées, respectivement, une première fois par a, a', a", une deuxième fois par. 6, b', b", une troisième fois par c, c', c"; si nous remplaçons ensuite les quantités m, n, O, 6, c, a', b', c', a”, b”, c" et leurs dérivées par leurs valeurs tirées des équations (2), nous pourrons substituer aux équations (4) les équations suivantes :

N cos. i' — F cos. a' = — Rt) ' (cos. e cos. U + cûs. I sin. û sin. u

+ . - “ — Joà

dt^ dt

Ncos./ui' — Fcos. |3'-

Rt)*(sin.ôeos.ti — cos. »cos. Ssin.u) d'y' . , O di'

ùi t/ ' + 2&I — *

N COS.vf — Fcos.y > =

sio tsin. u+

~diï

a', (S', y\ désignent les angles que fait la direction de la force F, avec les axes des x', y', z' et X', v', ceux

que fait la direction de la résistance N avec les mêmes axes.

— iS —

Si nous ajoutons de même les équations (3), membre à membre après les avoir multipliées respcelivement, une première fois par a, a', a”, une deuxième fois par b, b', b'', une troisième fois par c, c', c"; si nous remplaçons ensuite ces cosinus et leurs dérivés par leurs Videurs déduites des équations (2); enfin, si nous observons qu’au moment où une molécule du fluide éthérée pénètre dans l’intérieur de la terre, les valeurs

, dx dy de —, dl dt

sont nulles, nous aurons pour les

composantes de la vitesse relative, au moment où cette introduction s’opère :

dx'

dy'

'di d£ dt ~

= uy' -j- Ry(cos. 6 sin.u — cos.i sin.9 cos.u) ux' — Rü(8in. S sin.u -}- cos.6 cos.u) Rv sin.t cos.u.

Nous aurions pu obtenir les formules (5) d’une manière un peu plus rapide en parlant des formules de Coriolis; nous avons préféré les établir directement pour les rendre intelligibles à ceux pour lesquels ces dernières ne seraient pas très-familières.

§ 4. Nous n'avons fait aucune hypothèse sur la résistance N, c’est-à-dire sur la manière dont varie la conductibilité de la terre. Ce qu’il y a de plus probable, ainsi que nous l’avons déjà fait observer, c’est de re-

garder notre globe comme une sphère peu conductrice recouverte d’une enveloppe solide bonne conductrice. Nous pourrons dés lors substituer à la résistance N deux autres résistances, l’une normale N', l’autre tangentielle P; et en posant N' — F == Q, remplacer les équations (5) par les suivantes :

a?* dx^

Q P — = — Rumens. 6 cos. U + cos. • sin. 0 sin. u)

r ds

rf-*' „ rfy’

dl‘ dt

y’ rfÿ’

Q- P — =Ro’(siD.$ cos. U — cos. t COI. 8 lia. o)

r ds

d‘‘y' ^ „ dx'

„ds' „ , . rf»a'

Q P =; Ro^sio.t SID. U + , ,

r ds dt^

OU encore par ces autres, qu’on en déduit sans peine :

rf®'2 + rfy î + rfz'2 x’ dy' — y’ dx’

+ Qr = — • Bo-(A*' — Bÿ' — Ci')

*' rf“y’ — y’ d'x' x' dx' + y' dy' æ' rfy' — y’ d»’

dt^ ’ dt

— — Ro’(Ay' + B®’)

rf<

dx' d‘‘x' + dy' d^y' + dz' d’*’

• d®l + y' dy') + P rf*

dl^

= Rm’(A dx' — B dy' — C dx')

en ayant égard à la relation suivante, qu’il faut joindre aux précédentes :

r désignant le rayon de la terre ; nous avons posé, pour abréger :

cos. 0 cos. û cos, i sin. 0 sin. u sin. 0 cos. U — cos. i cos. 6 sin m sin. i sin. u

§ 5. Plaçons-nous d’abord, afin d’avoir une vérification de ces formules, dans le cas très-particulier, où la vitesse de (l anslation v de la terre, ainsi que la résistance tangentielle P seraient nulles, c’est-à-dire dans le cas où la terre ne ferait que tourner autour de son ttXe, et où son enveloppe aurait une conductibilité parfaite. Les deux dernières des équations (8) deviennent :

x'd^y' — y'd^x' x'dx' -j- y'dy'

dx'd^x' -f- dy'd‘if -f dz'd'z’ dl‘

uHx'dx' -}- y'dÿ'j = 0

et par intégration elles fournissent les deux suivantes :

x'dy’ — y'dx'

dx'- + dy'- + dz'dt‘

Celles-ci doivent être vériflées, au commencement

. . . , dy' dz’ ,

du mouvement, par les valeurs de — r- » . » —r don- ^ dt dt dt

nées par les équations (6) dans lesquelles il faut faire

préalablement v = 0. Il en résulte a = 0, 6 = 0.

Pour achever l’intégration, posons :

x' ••= P sin. If, y' = P cos. !f ou : x' = y/r' — z''^ sin. y, y' = V/r*' — z'‘ cos. <f

Les équations (11) deviennent :

r* — 2'2 dt

dz'~ do"

dt ^

ou bien :

dtf

Jt ^

D’où : z' — z’a, <f — ut (12)

On peut supposer la constante nulle dans cette équation. Donc ; Les molécules du fluide élhéré décrivent des parallèles d’un mouvement uniforme.

Quant à la pression normale, la première des équations (8) nous donne Q ~ 0.

Ces résultats faciles à prévoir, sont une vérification de l’analyse précédente.

§ 6. Intégrons encore les équations (8) dans l’hypothèse de V — 0, P = 0 ; mais ne supposons plus la valeur de v nulle dans les expressions (6) des composantes de la vitesse relative initiale. Nous obtiendrons de la sorte :

x' dy' — y' dx' It

dx - -f d;i’‘ -f dz’^ dt‘‘

ou en posant, comme précédemment, x' — p sin. <f, y' = P cos. <f :

dt^ ^ dt‘

Lorsqu’une molécule de fluide éthéré vient, comme nous le supposons ici, rencontrer la surface de la terre avec une vitesse égale et contraire à sa vitesse de translation, elle peut glisser sur cette surface dans deux directions différentes, l’une dans le sens contraire

du mouvement diurne et qui tend à rendre la valeur

de ~ supérieure à w, l’autre dans le sens même de ce

mouvement et, qui tend à rendre inférieure à w. Il y

a donc lieu de considérer la constante a avec un double signe , suivant que l’on envisage l’un ou l’autre des deux mouvements. Le premier est celui qui nous intéresse spécialement. Nous prendrons j):ir suite la valeur dv *

de — sur la forme indiquée précédemment, la quantité

a étant regardée comme positive.

Portons cette valeur dans la seconde des équations (13'). Une nouvelle intégration nous donnera :

= r^ sin.=f — 2 acu '^

cos.^^!

b — 2 aw

c) V/6 — 2 Qu