S"* MÉMOIRE

PAR N. NICOLaIDÊS,

Lieatenant da géoie de l'armée helléoiqne, Doetenr èi Sciences Mathémaliqaef.

ATBÉNBS,

IMPBIMERIE NATIONALE,

DUNE FIGURE PLANE

Je reprends les formules de transformation des coordonnées,

... a=aA-x'eo»ei — ysina,

^ jr=b-\-x'ântL-\-yeo»ei>

arec le deax éqoations de conditions

F {aM=0,

le mouTement se trouve ainsi complètement défini.

Différentiant les équations (1) plusieurs fois consécutivement^ ou trouTe, en égalant à zéro les secondes membres s

da , , , A

^ X jSma — ^j jcosa=0,

-p-j-j: jCosa — ^jrj8ina=0t

-p — Xacosa4-y2«>na=0,

. -f-j — X aSina — j:jCosa=:0.

•T-j — •** jCosa-f-y 3 8ina = 0.

(it/)

j^ ± i;'„ sin « dry „ C08 « = 0, ^;ir =p ■»'„ C08 a ±:y a sin a = 0.

^jB+ï =t:a:„„cosazp/„+,8ina=0, 5^1 =ta'„+,8iDa=ty„+,co8a=0.

On sait déj\ que chaque couple (1)\ (2)', •• • -J^représente sur le plan mobile un point, que nous appellerons ccnJtre instantané de premier^ second» • • • ect.^ ordre^ suivant l'indice qui figure dans les coordonnées (^^z)) pour éviter là construction des figures, j'emploierai la let«

tre On) généralement pour désigner la postiKHi du poini {af^ j?„). En éliminant a, bj a, entre les équations (2) et (n^) on aura une relation entre x'^^^y^^^ seulement, elle représentera évidemment le lieu des centres instantanés du 71^ ordre sur le plan mobile ; je rappellerai courbe mobile du n* ordre, et pour abréger davantage, je la désignerai souvent par la lettre M„. Son rayon de courbure sera représenté par pcmii/ ®^ 1^9 rayons de courbure de ses développées successives par f\aaiy * **

L'élimination de x\y^ entre les équations (1)| et un couple quelqiionque (1)', (2'), • • • • ne présente la moindre difficulté ; a, disparaît en même temps, et on trouve définitivement le système qui smt :

da

âb ,

Wi

TJIff^\*« — a)a=sO.

Ces équations, représentent les centres instantanés des dif« férents ordres sur le plan -fixe; les notations précédantes subsistent avec des légères modifications ; ainsi la courbe fixe du n*, ordre sera désignée par la lettre F^ ; on obtiendra son équation en éliminant a, entre les équations (2) et (/i)^; son rayon de courbure sera représenté par p^fg), et ceux de ses développées successives par p'^fo), ' • etc.

Si Ton avait differentié les équations (1) par rapport au temps ty et Ton supposait la vitesse angulaire,

dt '

constante les équations (n-j-l),, (n-)-2)„ auraient pris h forme,

on est condait ainsi à ce théorème remarquable :

Lorsque la vitesse augulaire dune figure plane qui glisse dans son plan est conHante les accélérations mécaniques (*) d'ordre pair n*" par exemple^ sont dirigées^ vers les centres instantanés du même ordre ; elles sont proportionelles à la distance du point considéré au centre instantané^ et à la n*"^, puissance de la vitesse augulaire. Les accélérations mécaniques d ordre impaire^ sont dirigées perpendiculairement aux droites qui joignent le point considéré^ aux centres instantanés des ordres correspondants. Ces dernières accélérations ont évidemment les mêmes valeurs que les premières.

L*étude des courbes M^, F^, n'est point difficile; la symétrie de leurs équations permet de le reconnaître à la simple vue. Différeotions les équations (77)' par rapport à oe, il vient :

^TH+idix ^cos aqRy „ sin «±-^ sm «±-^os a = 0,

^^±:jî>na±/^cosaqc-^sinart-^ sinot^O.

et en remplaçant cos a, sin a, par leurs valeurs tirées des équations (n-f-l)' on trouve,

(*) Pour les diflîogttéet des accélérations qoi sont éTidemment géométriques.

d'où

"•*ii Jn+i Jn

de là ce théorème:

La droite qui Joint les centres instantanés de deux ordres consécutifs, n* {n-\-i)* par exemple, est normale à ia courbe mobile du n* ordre.

Differéntiant aussi les équations (n)j, ou trouve:

\doi da) '

c/é da et en remplaçant tr ' ^ * * »' > P" ^^^f^ valeurs {1\ • • • • ,

par coDséquant

On a donc le théorème suivant :

La droite qui Joint le centre instantané du premier ordre au centre instantané d ordre quelquonque^ (^^H"^)*

par example^ est dirigée normalement à la courbe lieu des centres instantanés du n* ordre sur le plan fixe^ cest à dire a la courbe F^»

Les deux théorèmes précédents combinés, feront con* naitre aisément le centre instantané du (/i~|~l)® ordre, quand*on a la direction des normales aux courbes F^, M„, et la position des deux centres 0^, O^.

Passons maintenant aux éléments du deuxième ordre. Diffèrentiant les équations (3), on obtient:

da? ~"*"V cfcc da )

da" — \3r d* )

et ayant égard aux équations (3)

remplaçant les valeurs (6) (3) dans lexpression du rayon de courbure de la courbe M^, on trouve :

ou d'après les notations que nous avons déjà adoptées,

(7) Pcniii)="

O„0„+j+0„„0„,3'co8(0„0„,/0„,,0„,,)

formule simple facile i énoncer et i construire géométri* queineot.

^ Le rayon de courbure de la courbe F„, se détermine aussi aisément ; les équations (n\ deux fois différentiées donnent,

(t ayant égard aux équations (2\ , (n-j-2), ,

remplaçant les valeurs (8) , (5), dans l'expression du rayon de courbure, on obtient,

P(fn)—

(^n+a— ^3) (yii+i~^i)+(^n+a— ^3) (^n+i— ^1) »

ou bien

(9) Pcfn>= ^-^

0,0^^,co8(OA+2.0,0„4

On peut continuer, et chercher les centres de courbure des développées successives des courbes M^, F^. Dans cette recherche les calcules se compliquent de plus en plus ;

les centres instantanés d'ordres supérieurs entrent dans les expressions des rayons inconnus, mais la méthode est complètement identique et je n'insisterai pas pour le moment. Dans le premier mémoire sur cette question, j'ai donné une construction géométrique qui fait connaître la position du centre instantané du premier ordre dans un cas fort général, celui où une courbe mobile coupe sous un angle constant une courbe fixe ; on peut supposer ensuite que Tune des courbes devient un point et l'autre une droite, ou inversement, on peut supposer Tangle constant nul ou droit, et obtenir ainsi touts les cas connus depuis longtemps. Voici renoncé de la construction dont je parle :

Le point de rencontre des deux courbes éiant m, actuellement y et C , C^ , leurs centres de courbure en ce points le centre instantané se trouve sur la droite CC^. Fig. 1

Dans ces mêmes circonstances, on peut déterminer le centre instantané du deuxième ordre ; en effet le centre de courbure de la courbe décrite par le point C, est en C^, on a donc (*),

cô!

ce = î r

CO,cos(C.O,.C.O,),

d'où

co

CO,cos(C02CO,) = -^ ,

le second membre de celte dernière équation est complètement connu, et le point O^ doit se trouver sur une per pendiculaire à GG^, élevée par un point P, tel que:

(*) Théorie da moatement d*une figure* • ect premier mémoire page S.