CHAPITRE SECOND

II suit de là que Ton a

df M'h 3/ 27 î i3 a . \

Tr - -8? «*(a«*-afl)).

En substituant dans cette expression à la place de y et â les valeurs trouvées dans le n.° i3a, l’on voit aussitôt que, en posant y2 005(2 p — 2 ô) = 27 §7 co52gt> -1- 2ya Sô sin 2gp , il ne peut en résulter aucun terme qui soit à la fois dépendant de 1 argument (g — z) p , et divisé par g — £. Donc il est permis de supprimer la fonction y2cos( 20 — 26) et de poser

df MW/ 2? a\

Mais nous ayons, d’après les formules des n.08 i32 et i33,

7 = Vfe-£)C0Sfe— l)v’> = — “JT j^cos(g — i) t>;

ainsi il est clair que l’on a

*£. 9 m'KA y, cos {g— î)v ds> 4 ^4^3 7 ;

d’où Ton tire , en intégrant ,

4 * — sin\S ~ l)v .

1 36. Cherchons maintenant les termes donnés par la fonction /ÿû Pour procéder avec plus d’ordre, réduisons d’abord la valeur de*7 d'ü donnée au commencement du n.° 108 à son premier terme, et posons l’équation r

En faisant1 » g]/ (i4j^ ^ ^

~~ *^“(t -*-77) ’ 5 = 75m(t>~ô), cette expression donne

2 v* \Z'* I? “77 cos(2p~2Ô))-

Mais ici ron

terme y2 cos(2p^t? dans le nuiûéro précédent, supprimer le

fonction h\ i ' ", °utre 1,011 a vu dans Ie «•“ l33 <Pe Ia

; ne donne aucun terme dans le cas actuel.

l5o THÉORIE DU MOUVEMENT DE LA LUNE.

Donc il est permis de réduire cette valeur de J'd '£1 à

Mais la valeur de 7 trouvée dans le n.° i32 donne

= w^ï)cos^-i>'

partant Ion a

fd'Çl = — - . A ^ -r cos (g — i) v .

J 4 « 3 (g — 0 Vô

137. En prenant seulement le troisième terme qui entre dans la valeur de d'Çl rapportée dans le n.° 108, nous avons

fd'il = — sin(2v — 2 v)dv9

Donc, en faisant dv = mdv\ 2p — = 2ift>; u = et

u = , ü viendra

^ Jlndv (1 — 55) si/z 2-EV;

ce qui démontre la nécessité de chercher le terme affecté de l’argument (2 E—ï)v qui entre dans la valeur de 5. Pour cela remarquons avant tout que les valeurs de 7^1 dJ- posées dans les il.08 75 et 81 donnent, en conservant seulement l’argument 2(/— 2Ô,

dô 3 a / > a\

d~v = ^m 005(2 p - ad);

* = -|m*ysi»(at/-aô).

Donc, en faisant 2^—26 = — (2 E— 2g) p — 2SÔ , 7 = 7, -4-87, et

développant , nous aurons

d j = — - sin(2,E— 2,g)v , du 2 07

^ ^ ma S7 ii/ïîa E - ag) p.-t- | m1 y, S0 cos(a E - ag)p.

Maintenant, si l’on fait a %A

= h^T) coste = hfk~î) sin(ê - *)

il viendra

3 a* A ma ( / r» -\ , ~ )

4'Vfe^ijî cos{aE — g — i) v — cos(*E-3g+i)9^

dy 3 ma ^3./r, -x i . , j

dp “ ; • h^T) U Sln(2 “ *>' v - * % - i) pj ;

d’où l’on tire en intégrant et prenant 2E — g — i = — 2m, 2.E — 3g ■+■ i = — 2m ;

ly = ^’h^^\T6cos^E-8-i-)'’-^cos<^E-3g^ï)v^

*A 3 ma 0-2A . i . , . 5

y' — 8 '~m' h? (g — i) | sin{iE—g~i)v-. sin(2,E— 3g i) o ^ •

i38. Cela posé, pour avoir en s l’inégalité ayant pour argument (a E—ï)v, il faudra considérer l’équation

s — (r, Sy) sin(gv — S 6) , laquelle en développant le sinus devient

s = (ï, b) \ singv — Sô cos g p — I ($ô)a sin gv ? . ou bien a *

4 = ^ S* - r,Sô coi^p I y ($8)“ Sy U cosgp .

5 retenant seulement l'argument ( o te i •

précédentes de y U donne', '«> «P~>

SySôcosgv = 0;

partant nous avons

C’est , comme l’on figure de la Terre V°lt* 11116 eS^èce ^ Section en latitude due à la

Maintenant, si l’on ajoute à cette valeur de s le terme

y sin iv trouvé dans le n.° i32, et les deux termes

3 ma

7,singv g • — y, sin(zE — g) v

trouvés dans le n.° 81 , l’on formera une valeur de 5, qui étant élevée au carré donnera

** = -§•%-• jau(aE*g-i)p * ^CM(»g-gf 1> j •

Comme ici l’on peut faire = - 3-^ - = 1 , il est clair

1 g-*- 1 -4- etc.

que, en formant le produit s a sin 2 Ev, l’on a

s2 sin 2 Ev — o

<r*Ayl . f ..

m‘TFï=ïim<8-')''

Ainsi, en ayant seulement égard au premier terme, il est prouvé par-là que l’on a

J*d'Qi = ~ ~ ~ -1 Jmdv (1 — ss) sin 2Ev = o.

Mais il ne faut pas perdre de vue que ce calcul n’entraîne nullement la conséquence , que l’on doit avoir aussi zéro pour le coefficient numérique qui affecte le second terme de la même intégrale, relativement au même argument. Nous pourrions faire voir le contraire en poursuivant l’approximation jusqu’au point qu’il est nécessaire pour avoir effectivement ce second terme ; mais cela rendrait trop prolixe l’exposition de ces applications, uniquement dirigées à développer l’esprit de cette méthode et à rendre plus sensible la vérité de la réflexion déjà faite au sujet de l’argument analogue (2 g— ac)t>, à la fin du n.° 106.

139. Enfin considérons le second terme de la valeur de d'Çl rapportée au commencement du n.° 108, c’est-à-dire l’équation

Jdü = - --^cos^v - 2e).

En y faisant 2e - iv = *Ev, ù = iv u = , l’on a

prCï 3 M' ^4(i-4-yy)a/ x fdSl=ÏJi‘< r- (}~*s)co*%E9.