CHAPITRE SECOND. l8l
forme et d'un ordre déterminé , il faudrait considérer la totalité des fonctions qui entrent dans cette équation sous sa forme finie. Mais alors les termes en grand nombre de l’ordre du carré et. des produits des forces perturbatrices qu’il est indispensable de développer, rendent à l’équation (T) toute la complication, qui demeure en quelque sorte cachée , lorsque Ton borne son application au calcul des termes qui dépendent de la première puissance de la force perturbatrice seulement; ou bien à certains cas singuliers dans lesquels par une heureuse combinaison il s’opère .une destruction complète entre les termes du même ordre produits par d’autres fonctions qui ne sont pas explicitement renfermées dans l’équation employée par M. de Laplace. Les détails exposés dans la première partie de ce paragraphe au sujet du coefficient ÿ de 1 argument (g — ■ i) p nous font penser que cette application de 1 équation (T) offre un exemple de ces cas singuliers.
161. L analyse précédente donne aisément les deux termes principaux affectés des argumens (3 i ~ 2-) p , (3i - 2g - c) p qui entrent fans expression du rayon vecteur r. Pour cela remarquons que l’on a
r = ___ fi* ( ! -4- y y) C ecos(v — v) >- 1
i 1 ^ KO-") S ’
ou bien , en développant ,
r = ’LSL
T ~ ecos(f> — xs r)^ .
Maintenant, si l’on substitue pour U’(i * yy) . $.e\ S-ecosio-v) es valeurs trouvées dans les a- 144 et ,46, l’on obtiendra, en conser- 'aut seulement les termes divisés par (3t-2g-c),
A g; y* sin (3t — 2g — c) y 16 3 i — 2g — c
, A . 7? sin (Si — 2g) v
*(3^ — ag) v} -2g-c
îionVvoyAn» In*1 faCUe ^ C°nClUre C6tte ValeUr de r de r*P*-
dt*
v dQi -ï-r-^-zfdÙ.
Il est vrai que M. de Laplace a employé ce dernier procédé dans le troisième volume de la Mécanique céleste (page 253) pour chercher le premier ternie de r affecté de l’argument (g— i)p; mais la facilité que l’on rencontre dans ce cas particulier tient à l’isolement de cet argument ; tandis que l’on ne peut avoir le coefficient de l’argument (3i — 2 g —• c)v sans considérer en même tems l’argument (3 i — 2 g)v . Au reste il n’est pas inutile , pour la théorie , de faire observer que même pour l’argument (g — i) v le calcul n’est aussi facile qu’on le voit dans la page citée plus haut, qu’en vertu de l’omission d’un terme dont il est nécessaire de tenir compte.
En effet, suivant le calcul exposé par l’auteur dans cette page, la perturbation Sr du rayon vecteur devrait être déterminée par cette équation
d2-riïr riïr
(2 — 3) (ap — -a( f>) ^ sin XcosX-y cos(gv—fv—ô).
Or il est évident que par-là l’on tient compte seulement de l’effet direct. Mais avec une légère attention l’on reconnaît la nécessité de considérer en outre les termes du même ordre donnés par la fonction — m U~ ( 1 — 3 s2) rapportée au fond de la même page. En égalant, pour un moment, cette fonction à R , l’on en déduit
$R = -muJr2s$s - mw3rSr; 3 ru' u^r2 s$s — m u!zr%r ,
2 2 \dr )
et par conséquent
2 f§ dR S-r = 6 mu3r2s§s — 2m'u3r$r .
Donc , en faisant ici m'a 3ra = m2, s = y sin(gv — ■ > ô) , et
* (ap — ±a<p) D% .
= - - - - — — • — sin\ cos\-y sinfv*
nous aurons
nfldR + î- r(^) = — •^■sin\cos\-ycos(gi>— fv— 6)— 2tnr-^ i
ou bien , en prenant g — i = \ rn ,
