CHAPITRE SECOND

164. Considérons maintenant le terme de l’équation différentielle

en u , ayant pour argument (3 f—2g)v. M. de Laplace déclare dans la page 386 du livre XVI qu’il assimile cet argument à l’argument cp-st. Et d’après des idées tout-à-fait analogues à celles qui se rapportent à l’équation en 5, il reconnaît la nécessité de modifier le coefficient (i c2) du terme — ( 1 — c) • e cos (cp — w) , si l’on veut le rendre applicable à l’argument (3/-ag)* La modification opérée par M. de Laplace se réduirait, dans le fond, à exclure de la valeur de — (' — c2) le terme -^mV cpù s’y trouve introduit par le développement de la fonction Mais M. de Laplace, au, lieu de changer sim-

plement - ( 1 - c2) en - ( 1 -c2) + f me (comme cela résulte de son raisonnement), il change le facteur -ytfi en ^x|m> et en“ suite il remplace | m par 1 — c .

Or , dans le cas actuel , où il est principalement question d’un effet qui dépend des modifications qu’il faut faire subir à plusieurs termes de la série qui exprime la fonction des constantes désignée par c , il n’est pas permis de substituer au seul premier terme ni la valeur totale de la série \m etc* sans faire voir

que le calcul des termes ultérieurs rend légitime un pareil changement. C’est en cela que consiste la véritable difficulté dans cette recherche , et il nous paraît qu’elle est loin d’être surmontée par des considérations aussi simples. Et la phrase II lui serait même égal si etc. émployée par M. de Laplace dans le rapprochement des deux termes dont il s’agit ici nous semble tellement contraire aux véritables progrès dans la théorie des perturbations de la Lune, qu’il conviendrait de s’en abstenir, même dans le cas où les combinaisons des calculs rendrait cette égalité rigoureuse ; puisque , par le fait, elle n’est point démontrée par la considération indirecte de l’auteur au-delà du premier terme. Il faut absolument s’engager dans un calcul beaucoup plus épineux, si l’on veut connaître au juste l’expression de la modification qu’il faut faire subir à la quantité ~(i-c2).

1 65. Pour ne point passer sous silence tout ce qui tend à éclaircir cette analyse, il importe aussi d’observer qu’à la rigueur il faudrait en outre modifier la valeur du coefficient par un motif semblable

à celui qui a rendu nécessaire dans le cas précédent la correction du coefficient B^\ En effet, si l’on réduit à

O - j I — (2 - 2m - cŸÏ A (1) -*• Zrn $ î — (3 ~l~ À <0?

( /3I <4 4 a — an* — c a $

l’équation qui détermine le coefficient (Voyez page 21 5 du

troisième volume de la Mécanique céleste), l’on en tire (en posant c = 1 dans le coefficient de 3m2)

1 — 3 4c — c3 ■+- tfi(8 — 4 c) — ü rn *

Or, en changeant dans cette expression c en 3/— 2g, et remarquant que Ton a

i '-m — rn — etc. ; 3/— 2 g = I — | m2 ■+■ ^ m -+■ etc. ,

il devient évident que la valeur de A?\ développée suivant les puissances cle m, sera différente dans ces deux cas au-delà du premier terme. Mais, si Ion s’abstient d’exécuter ce développement, les deux valeurs de A r(I> approcheront davantage de légalité, en vertu delà circonstance ^qui rend la valeur arithmétique de c fort approchante de i — | rn. Ainsi en prenant dans ces deux cas la même valeur pour A y Ion commet à la vérité une erreur; mais cette erreur ne saurait se faire sentir quau-delà des quantités du quatrième ordre, du moins dans le sens arithmétique.

Il nous paraît inutile de pousser plus loin cet examen , puisque nous voyons que M. de Laplace calcule de nonveau le coefficient affecté de l’argument (3/-2g-c)p, qui entre dans l’expression de la longitude de la Lune, en supposant vraie l’équation fl • dR = o, ce qui est directement contraire à tout ce que nous avos démontré à ce sujet dans ce paragraphe.

Par la même raison nous ne discuterons pas l’addition que M. de Laplace a fait à son calcul antérieur du coefficient de l’argument fe-/> <Iui déPend de l’aplatissement de la Terre. Nous ferons seulement remarquer que l’auteur admet au moins dans son nouveau calcul ( Voyez pages 399 et 400 du livre XVI) l’existence de plusieurs

fonctions capables de produire un coefficient de la forme Hrrr,

tandis que dans son Mémoire publié dans la Connaissance des tems pour l’année 1824 il avait affirmé que l’on a nécessairement H— o ( Voyez page 3o4 de ce dernier volume ). Cependant nous avons déjà publié un résultat contraire dans la page 3 1* du quatrième volume de la Correspondance du Baron de Zach , où nous avons avancé que Fon a LT = — M. de Laplace trouve maintenant üf = h- | (Voyez page 400 du livre XVI); mais il sera prouvé dans cette théorie de la Lune , que ce dernier coefficient de M. Laplace est en réalité d’un signe contraire et trois fois plus petit que le véritable.

Variations séculaires des élémens de V orbite de la Lune dues aux variations séculaires des élémens de V orbite du Soleil.

166. Considérons toujours les quantités y, y, e, e comme du premier ordre , et en poussant les développemens jusqu’aux quantités du second ordre inclusivement à l’égard de ces quatre élémens des deux orbites, proposons nous de trouver la partie séculaire (c’est-à-dire la partie indépendante des longitudes v et v) renfermée dans l’expression

générale des six fonctions dô de df p 1 <

& <*> d*> dv ds> 1 e . dv dv' aegre

d’approximation suffit pour mettre en évidence l’existence de ces perturbations , et pour en calculer le premier terme. 11 est vrai que le calcul des termes suivans ne peut pas être négligé, lorsque l’on a pour but de former une théorie capable de satisfaire aux observations très-éloignées de l’origine du tems; mais il ne convient pas de s’engager dans une telle recherche au moyen des formules de la variation des constantes arbitraires. La méthode générale par laquelle nous déterminerons directement les trois coordonnées de la Lune est plus propie à faiie connaître les termes qui dépendent des puissances supéneuies e la force perturbatrice. Cependant, pour répandre un plus giand jour sur cette méthode, il est utile de la faire précéder par ces recheiches, qui ont l’avantage d’assigner la forme de certaines fonctions

des élémens sur lesquelles il importe de diriger particulièrement l’attention. L’on apprend par-là à connaître le caractère inhérent aux fonctions qu’il s’agit de déterminer, et l’on sait d’avance ce que Ton doit faire pour comprendre dans les procédés d’un même calcul le développement des fonctions des élémens de l’orbite du Soleil qui sont susceptibles d’être considérablement modifiées par les intégrations qu’il faut exécuter sur la partie variable et séculaire de ces mêmes élémens. Toutefois ne perdons pas de vue que dans ce paragraphe il est seulement question des termes séculaires qui dépendent des élémens de l’orbite du Soleil, et que l’on fait abstraction de ceux qui dépendent du mouvement du nœud et du périgée lunaire , quoique ces inégalités soient , par leur origine analytique , analogues à celles que l’on nomme séculaires.