CHAPITRE SECOND

176. Pour former l’expression analogue de y ~ , remarquons d’abord qu’en faisant dans l’équation

§ = F\%)-ycos(»-6>ïtt\sin(y-6)i

3M'u'3(i — ss)

•s' cos (p — v) ;

dû

u'dv

SM'u'3 ,

~4 — •« sin(y — v[ )

(Voyez 11. 09 68 et 27), l’on obtient

dô 3 M'u'

3 AW3 , C . , , . , , >

I * ÂV ’ 5 ) sln(? ~ ô) $m(w — pf — ô) >

- 5 • Tiv1 • s' j «'î(21’ - v'-6) - l M*' - «) j i

mais s' = y sin(y' — è') , partant nous avons

yTv = ~ jy2)coi(ô-ô')-co«(ap-â-ô')-coi(ap'-ô-ô)|.

D’après le calcul exposé dans le n.° 75 , la valeur de y ~ doit aussi renfermer la fonction

“ ï * ~h^r \ 1 — C0s(2V — 26) - cos(2p' - aô) 5 ;

ainsi il est clair que l’on a

y ST = " ; • “ÀVT- J 1 - C0i(2p - 2Ô) - - a«) £

"* 4 ■ — iï)cos(6—6') — cos{2v—ô—6!) — cos(2v' — ô—6')^.

Il faut maintenant développer le second membre de cette équation en conservant les termes séculaires du troisième ordre afin d’avoir , après la division par y, la valeur de ^ exacte jusqu’aux quantités du second ordre inclusivement.

176. Pour obtenir les termes donnés par la fonction 3 M'u'3 C .

ï ‘ W pcoi(ap-aô) - y'cos(2i> - 6 - ff) p

il suffit d’y faire

-i- » (y1^.ss^ecos(y-'Cj)^’'Az= ^72cos(2P-2Ô)*5eacos(2P--2G7)^

ce qui change l’expression précédente de 7 ^ en celle-ci dô = 3 . W> L ycoi(2p'-2ô)*r'c0i(2p'-ô-ô')-(' -§ /)r'cos(ô-6')

UV 4 ^ C

-+- 1 • | y3 — yy2co s (ô — ô') — 5y'e2cos(2tir — 6 — 6') | •

Or, en changeant successivement 2ts en 26 et 6 -+- 6' dans la valeur de u/3 cos (20 — 2zj) trouvée dans le n.° 174, il est évident que l’on a

u3cos(zv’ — 26) = — ^3 ^ €,2cos( 26 — 2 t) -4- 005(26 — 26') ^

m'3 005(2^ • — ô — ôr) =. — ^ j £,2COS (ô 2Tr) -+- 7- COS (6 — 6') | •

Donc, en substituant ces valeurs, nous aurons

dô 3 M'u'3 { / 1 2\ f /a At\ ?

r^ = -"ï*w'P“‘(î~iy)ycos(ô-:ô)î

-y3 “4" ( è 7,3 ~~ i ^Va) C05(ô — 6') — 7 ea cos (2OT — 6 — ô')

^yyncos(2Ô — 2Ô') — -yencos(2Ô — 2t) -+• ^y£2cos(ô -+• ô' — 2r')

Cela posé , si l’on fait dans le premier terme 1 1 / 3 ,1 3 ,2\

Jp-ïfsO-ï* -4 7

jr = ^5(1 -^yy)4(» -*-5e2-r3) = ^(1

3ya -h Sea) ,

il viendra

§/* - 5e1 -*■ a/) cos(ô - ô')

- y | ^ y'1 cos (26 — 26') hraco«(aô — 2r')

| -t- y | h‘Jcoi (ô -t- ô‘ — 2t’) — ~-e*cos( 20 — ô — ô')|-