CHAPITRE SECOND

l’on pourra déterminer z en intégrant l’équation

dTv-\^\^V)x*\V'\z = ^ ta\P— Qx’) ;

de sorte que , si l’on fait pour plus de simplicité

r = (ï*r)t + ir,

l’on a

Z = C-t- 5 rn Jdv (P- Qx)e~^m*fRdv | ,

où C désigne une constante arbitraire, et e la base des logarithmes hyperboliques.

Remarquons maintenant qu’en posant l’équation K ■+■ V'x h- (JtC •+* V)x* = o ,

l’on en tire

2(ic ■+. V) ± (a: r ~ ^ *

eür

Or, en différemiant cette expression, l’on obtient pour ^ une quan-

tité de la forme A'^~ -+. A" dK AW dv d\> ** dv

l’équation l’on aurait

dx 3 a

dv 4

dv » sorte que., au lieu d’avoir K *+• V'x (X V)x 3 ^ ,

ce qui n est pas vrai à la rigueur. Mais , si l’on fait attention que les fonctions séculaires désignées par F, F', K acquièrent des facteurs tres-petits par la différentiation, l’on accordera sans peine que l’on peut regarder comme suffisamment exacte la valeur précédente de *. i o. ela posé , si 1 on fait pour plus de simplicité ,

nous aurons , en distinguant les deux valeurs ‘de x ,

x1 = a -+- b'[^i , x" = cl — b'ÿ^ï :

En nommant z\ z" les deux valeurs correspondantes de 2 et faisant pour plus de simplicité

<p = V)b'dv ,

on aura

z' = e'P'Æ -ïm2f(P-Qa'-Qb'/r1)e-<Pÿ:îdi>\i, z" = C'V ^ m *f(P- Qa' - Qb'fry'P Ve* ■

Donc, en remplaçant l’exponentielle e*' ^ par la fonction équivalente co5 (p ■+■ \^i • sin(p , et posant pour abréger

R' = (P — Ça) cos <f> — Qb'sin (p ,

/?" = (P — Ça') s in <p h- Qb' cos (p ,

il viendra

z' = C'(cos (p ■+■ sin (p) h- ^ m2 j cos(pJ ’ ■+■ sin(pf R''dv ^

— ^ m V1! | cos <pj ' ft"dv — sin §f R dv | »

z" = C '(cos (f> — |Aï sin (p) -h ^ m2 | cos <pf R! dv •+■ sin (pJ*R"dv |

■+• ^mV^j cos(pJ'R''dv — sin<pJ'R! dv | •

Pour tirer de ces deux expressions les valeurs cherchées des fonctions p et q, il suffit d’observer qu’en vertu de l’équation z = p ■+• qx nous avons les deux équations

lesquelles donnent

z" =p + q(a’-b'\ri),

et par conséquent