CHAPITRE SECOND

importe de remarquer que, dans le fond, elles sont indépendantes des termes du troisième ordre qui entrent dans les fonctions désignées par P et Q (Voyez n.° 17S); de sorte que l’on aurait obtenu le même résultat en supprimant d’abord la fonction du troisième ordre

-1 *31 H *7~Q^y'cos(6 - 6') ,

qu’on voit dans l’expression de 7^ rapportée dans le n.° 178. Et il est aisé de voir que, par des considérations analogues, on serait parvenu aux mêmes expressions dé p et q , en ayant égard aux termes du troisième ordre qui font partie du second membre de l’équation

D’après cela, si l’on objectait que pour former les équations différentielles en p et q, à l’aide des équations

dp dy . . dù

5T = £smÔ*7^cost

dq

dy . dô . A

dv

on 11e peut, à la rigueur, avoir égard aux termes du troisième ordre qui entrent dans la valeur de sans considérer en même tems

les termes du même ordre qui se trouvent dans celle de on

ferait tomber l’objection en faisant observer que l’uniformité du calcul dans la recherche des coeffîciens différentiels des élémens nous a déterminé à nous arrêter pour tous au second ordre; mais qu’en tenant compte des termes du troisième ordre qui entrent dans la valeur de

. dv

on aurait rendu les formules primitives plus compliquées , sans rien ajouter à la partie principale des fonctions p et q qu’il s’agissait ici de déterminer.

184. Analysons maintenant les conséquences qui dérivent des deux valeui s précédentes de p et q. Puisque p = ysinô, q = y cos 6, il est d abord évident que l’on a p2 -4- q2 = y2> et par conséquent

/ = y] -k 2W2 h- 2C h- 2y2ATcos(ô — q? — — J3),

Donc , en substituant cette valeur de y2 dans l'équation

<p = (g — i)p — |m 2fy2dv ■+■ |ray*(G -+• 2 H)dv

trouvée dans le n.° 1 8 1 , et supprimant la partie proportionnelle à v \ | m \y2 •+■ 21V2)v , il viendra

( p = (g — i)p ^ vnJ'Hdv h- | m2J'Gdv

4 idt

du du

et en faisant, comme précédemment, ^ “ T nous aurons

< p = (g ~ i )p -4- | rnJ'Hdv -4- | mJ'Gdv -4- yi'2Nsin(ôl — <p — ic — j 3) .

Mais d’après le théorème de Lagrange l'on sait que toute équation de la forme

(p = a -4- y^Nsin(b — (p)

donne

(p = a -4- y^N sin(b — a)

2i! . -«)]* __ ecc

3 da

Donc , en négligeant les très-petits termes multipliés par y*, y,3 etc. , nous aurons

(p = (g — 1 )p -4- 2 mJ'Hdv -4- | my* Gf/p

-+- y^lVsin jd(— (g— i)p— i«— J3— ^m 2fHdv — | xnfGdv | •

Telle est la valeur de (p qu’il faudra regarder comme substituée dans les équations

y sinô = ytsin (ô/ — (p) sin (ic -4- /3) ,

y C05Ô = ylcos(ôi — (p) -4- hN cos(it -4- J3) , ya = 7? H" ^zV2 -+- 2G -4- 2 y2Ncos(6t — (p — — * j3).

1 85. Reprenons l’équation

n(t •+•/) = P -4- mfdv(^ £n — ^ y” — I y my* y/ co s(è - (!)