CHAPITRE SECOND

partant on a

vf = v -4- s'INcosiy ~ it — fi) — ^y'2 sin( 2v — 2Ô').

Cela posé, si l’on observe qu’en substituant dans l’équation 5 = sinv-y cosô — cos v-y sinô

les Valeurs de y sinô, ycosô trouvées dans le n.° 184, on obtient s = y t sin(y — -h <f>) 'SJVsinfo — it — fi) , on en conclura qu’en négligeant les termes de l’ordre de y'2 l’on a

v, = v ~ §r,2/V sm(ô( — <p — it — fi)

|y(2iVwi(2P— ô( -i- (j> — it — fi).

Donc , en négligeant la partie périodique et insensible représentée Par |y, 2iV sin(iv — ô< -+• <f> — it — J3) , et rapprochant cette équation de celle qui détermine la valeur séculaire de n(t il viendra

n(c *+" f) = p, ■+■ ZmJ'Hdv ■+■ ^mJ'Gdv ,

ce qui est conforme à la proposition énoncée au commencement de ce n.°

187. En continuant de considérer le mouvement de la Lune par rapport à 1 écliptique vraie l’on en tire une autre conséquence digue de remarque. Voici en quoi elle consiste.

Nommons I l’angle qui mesure à chaque instant l’inclinaison du plan de l’orbite de la Lune avec l’écliptique vraie. Eu imaginant le triangle sphérique formé par ces deux plans et le plan fixe, et posant pour un moment y = tang oc , l’on a l’équation

C05 / = co s oc cos it sin oc sin it cos(ô — ôf) , laquelle , en se rappelant que tang i, = y , donne

cosl = (fl-fl')..

Donc, en y substituant pour yy'cos(ô — ôr) la valeur trouvée dans le n.° 186, nous aurons

. n-/V y£N cos (6 1 -gi-h-P) .

développant le radical et négligeant les quantités d’un ordre supérieur au quatrième , nous aurons

cosl = i — iy* J yn 7,( I — J / — jy”)2Arcos(ôi- <f> — it - J3)

3 4 I fA I a fa

— g/— -yy-

Mais nous ayons vu dans le n.° 184 qu’on a

y2 =r y2 -4- y'3 2y/2iV' CO S (ô f— <f> — it — /3) ;

donc, en substituant cette valeur, il viendra

cosl = i — ^y2 — - y/y2 -H y,a)2i\T co5(^ — (£> — it — /3)

et en négligeant les quantités qui passent le second ordre

cosl = i — jyJa-*-jy(I^2Arcos(ô, — <p — ît — /3)| ; d’où l’on conclut

tang2 1 == yy3 — y;3 5 cos (ô — <f> — ic — £) > •

En comparant cette expression de tangl avec la précédente de tang cl = y3, on voit que le terme séculaire y'3 n’entre pas dans la valeur de tangl , et que même la partie variable

-y2\2Ncos(bi (f> £c — j3)

est beaucoup plus petite que la partie correspondante 2 yy 2 iVcos^ — — ic — fî) ,

renfermée dans y3. De sorte que l’on peut considérer l’angle I comme une quantité sensiblement constante, et établir l’équation tang2 1= y ou bien en conclure qu’en vertu des valeurs de y3 et yy co$(ô — ô') trouvées dans le n.° 1 85 , on a l’équation

tang2 1 = (y cos ô — y cos ô')2 -+■ (y sin ô — yf cin ô')3.