CHAPITRE SECOND
renfermée dans la valeur de ~ . Or cela est sans doute exact, lorsqu’on a uniquement pour but d’intégrer les équations différentielles du second ordre et d’arriver à l’expression du tems en fonction de la longitude vraie de la Lune. Mais il ne faut pas perdre de vue qu’une telle conception entraîne le mélange des variations séculaires appartenantes à différens élémens , et qu’on ne peut ensuite les séparer sans une analyse précise, qui n’ait en elle même rien de contraire aux formules propres à la détermination de la partie variable de chacun des élémens du mouvement elliptique.
Pour mieux prouver la justesse de ces réflexions, nous allons faire voir que le terme dépendant du carré de l’excentricité du Soleil, analogue à celui que M. de Laplace obtient dans sa valeur de a , dérive du développement de la fonction ecos(y — sr), en vertu de la combinaison des termes à courte période renfermés dans la partie variable de l’excentricité et du périgée de la Lune. Cela achèvera de démontrer que, analytiquement parlant, il y a, même dans la seule partie séculaire , une différence absolue entre la fonction qui représente le demi— grand axe de l’orbite de la Lune, et la fonction représentée par a dans la Mécanique céleste, et nommé plus expressément demigrand axe de V orbite dans la page i52 du second volume des Mémoires de l’Institut de France.
i93. Réduisons les expressions de * , données dans le n ° 68
à celles-ci
ST = “ ~ ^-%)sin(v-*r)+ j |ycos(w-ô)*|ycos(2p-ô-w) J &>,
e du ( i ■+■ y*) n / v , o .. n
~cb~ *= — — a(a)C0<p-'nj)^j-|y5m(OT ô)4-|y5m(2y-ô-.t!r)|&-).
En faisant
û(„ 3 MW
hf = r Av-* = -fm 7M*-6) »
on a d’abord
de (i •+• y*) .
~ch ~ y~~ (a) sin(v — w) — | m2 y2 sin( p — zv) ,
edlT O -*-f) o / . o a a ,
dv - a — Wd )cos\y — w) -4- |rn / co s{y — zj) .
Maintenant, si l’on fait (Voyez n.° 169)
. ^-3 j i — %sn ■+■ 6-ss' cos(y — t>') j ,
= | yy' C05(p — p — ô -h ô') ,
il viendra
Mais, d’après les résultats trouvés dans les n. 173 et 1 85, nous avons Mu!* MW / o a 3 J* . 3 » ^ 9 a\
yyf 005(0 — ôf) = y,a ■+■ y^ 2 N cos(&l ^ fi) ,
partant
JJTA6
Cela posé, si l’on substitue au lieu de Ji sa valeur li = hf( i*3y2- 3y2), il viendra
= - 1 m2( t * 3e3 * | £' V 1 /) | mV, ?N cos(6~ <p - u - j3) . Il suit de là qu’on a
§ = 1 m3[i + 3e1 + 1 s'1- f /- |r, 2Ncos0,-<p -it-0)] sin {» - v) ,
*-£■ = - |m2[i - 3ea*§ £'* -| / -| r,2 ATc<«(d( - (f) -it - J3) ] co<o- w) . En éliminant ya au moyen de l’équation
ya s= y 2 -4- y/a -+• ay; 2 N cos(ô/ — * <p — it « J3) ,
et posant pour plus de simplicité
on obtient
de dv
| m2jS 5m(p — cr) — mAy2N sin{y — w — <f> — it ■+■ ô, — • /3) — m2y, 'ZN sin{y — -07 -h <p ■+■ ic — 6t ■+■ $) ,
e-^~ = — | m 2 B cos(y — w) ■+■ m2yt 2iV cos(p — 'ccr — cp — £^-4-^ — J3)
■+■ rn y ^ N cos(y — -cït (f> -+- £c — ô< J S) .
Actuellement , si l’on conçoit que dans le second membre de ces
équations on ait substitué au lieu de ts la valeur donnée dans le
n.° 189, on trouvera, en intégrant ces expressions conformément au théorème démontré dans le n.° 5i ,
m 2B du C '-dï
V dv/B-dv^
N co s {v — y __ p — p -4- ô()
j du dp idt
dv dv dv
a ^ Ncos{y — u -*-p-*-it-t-fi--8t) 't dû dp Tdi ' 1
* dv dv
? Stc = — - •
rnB
du
[~~dï
dl-
• S ( , du\ \ e ) ,
sw ‘’-^V
N sin{y — u — p — it — /? -+- B)
j cfa- ^ ^ idt
dv dv dv
N sin(v — 'u+p-t-it+p— ô)
du dp i dt - -4- — — -+• -
dv dv dv
Cela posé , si avec ces valeurs on forme la fonction Se co$(f> — - w) ■+■ eStsi sin(y — w) ,
qui représente la partie principale du développement du terme e cos^-sr), on obtiendra
Se cos(y — te) -4- e Soi — w) =
2 ^ Ncos(($ it-*- B — ô ,) a ^ N cos(<p ■+■ it -+- B — &,)
— I di
1 dv dv dv 1 dv ^ dv dv
L’expression de B posée plus haut donne
dv ° e<fr a ' dv dv
Ainsi il est évident que les arcs exprimés par les fonctions
/ da\ dB / dtr\^e)
\X ~dv ) B-dv ’ \ dv) dv
sont réductibles à une suite de termes séculaires d’une petitesse excessive , et que par conséquent on peut ici supposer sans erreur sensible
C / dvf\ dB } S / , dn\ \ e J /
Donc , en négligeant les très-petits termes compris sous le signe sommatoire 2, il viendra
Se cos(y — w) e Stc sin(v — zsf) = — - m
cfàr
La valeur de x<7 trouvée dans le n.° 189 donne
~ = (i-c)+| mV1 - | mVa * etc. = fm1* etc.
Donc, en substituant pour B sa valeur et négligeant les quantités d’un ordre supérieur au quatrième , on aura
Se cos(v - tD-) ^ e Stc sin(y - -57) = -|m2j 1 |e2-^ | m2^ 36^ *“f 7 }•
Si l’on observe maintenant que l’équation /i2 = ^2(i -*-7, — 7 ) donne 4 y2) = ^2(i h- 7 2 7272) , on en conclura qu’en considérant seulement le terme principal de la partie constante et séculaire, on a
La seule inspection des valeurs générales de ^ » <l£ suffit pour
