CHAPITRE SECOND

démontrer le résultat trouvé dans le n.° i85, savoir que l’équation séculaire de la forme A m fyndt> est absolument nulle dans l’expression de la longitude moyenne de la Lune; il faudrait tenir compte dans la valeur de u de tous les termes de la forme (j3 * 0m j3"m2)/\ ce qui exigerait un calcul très-pénible.

Jusqu’à présent on a éludé cette difficulté en faisant y’ = o avant d’intégrer le second membre de l’équation précédente. Un tel artifice peut être toléré, lorsqu’on a démontré par d’autres moyens que le terme principal de l’équation séculaire due à la variation séculaire du plan de l’écliptique doit se réduire à zéro. Mais, en examinant de près la démonstration publiée par M. de Laplace, relativement à la destruction mutuelle des termes en question, on reconnaît que cette importante vérité n’a pas été établie avec la rigueur qu’on est en droit d’exiger sur un point aussi délicat de la théorie de la Lune.

195. C’est sur tout dans son premier Mémoire sur l’équation séculaire de la Lune (Voyez le volume de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1786) que M. de Laplace a entrepris de résoudre directement cette difficulté. Il est entré dans des détails qui nous paraissent préférables à tout ce qu’on lit à ce sujet dans les deux pages 184 et i85 du troisième volume de la Mécanique céleste. Et nous ignorons pourquoi M. de Laplace n’a pas jugé à propos de reproduire cette démonstration dans ce dernier ouvrage , en y ajoutant les développemens nécessaires pour la mettre à l’abri de toute objection.

Quoiqu’il en soit, revenons au volume cité plus haut et remarquons que M. de Laplace est conduit (Voyez page 262) à calculer la partie séculaire renfermée dans l’intégrale correspondante à celle que nous désignons par — 2 Jd'Q. Nous avons examiné avec attention, si son résultat donnait les termes rapportés plus haut dans le n.° 191. Voyant que nous n’étions point d’accord sur ce point, nous en avons cherché la cause radicale, et voici a quoi tient cette discordance. M. de Laplace n’a pas remarqué,

i.° Qu’en formant directement la différentielle

dv

du

ds

au moyen de son expression de R posée dans la page 245 du volume cité , il arrivait que les deux termes multipliés par y/ sin(ô — è')dv s y détruisent exactement, comme nous l’avons démontré dans le n.° 170.

2. Qu en vertu de la destruction de ces termes, la valeur de cï£l quil suffit de considérer ici peut être réduite à cette forme

3.° Que la partie principale et séculaire dépendante de y et y, qui entre dans le développement de la fonction

t l j-iïwi' + b *h)0

n’est par réductible à un terme de la forme

■bn)>

M'A | (y cos 6 — y’ cos (y sin 6 — ■/ sin 6')2 j ;

c’est-à-dire au produit de M'A par tangM, d’après ce qui a été démontré dans le n.° 184.

Cela posé, on conçoit pourquoi M. de Laplace n’obtient aucun terme secu aire de la forme Arnyn dans son expression de l’intégrale -y cm. Mais la vérité est, que c’est précisément à cause que le contraire a lieu qu’il existe entre les coefficieiis numériques multipliés par m Jy'dv la relation nécessaire pour rendre tout-à-fait nulle CUl sonime dans la valeur de trouvée dans le n.° 1 85.

Au reste il est impossible de fixer les idées sur tout ce qui tient a la partie séculaire des élémens elliptiques du mouvement de la Lune sans construire et employer des formules, où toutes les quantités d’un ordre déterminé soient conservées et discutées conformément au but que l’on s’est proposé. C’est le principe qu’il nous paraît d’avoir suivi à la rigueur dans tout ce qui précède. S’il avait été observé dans le Mémoire en question, ou dans les formules exposées dix années plus tard dans le second volume des Mémoires de l’Institut, on y verrait des termes de la forme Am'ffè, dans la partie séculaire du nœud et du périgée de la Lune : l’absence de ces termes suffit pour démontrer qu’elles sont incomplètes. Ainsi il n’est pas surprenant, s’il y a