CHAPITRE SECOND

une discordance aussi marquée dans tout ce qui dépend des termes nés de l’existence de la tangente s' de la latitude du Soleil par rapport à un plan fixe.

Après avoir ainsi analysé les différentes questions qui ont été traitées dans ce paragraphe, il devient nécessaire de considérer le même sujet sous un autre point de vue, qui a un rapport plus immédiat avec les résultats définitifs consignés dans cet ouvrage.

En dernière analyse' on doit déterminer la partie séculaire ou progressive qui s’ajoute à la partie constante de chaque élément, au moyen du développement des équations différentielles du second ordre; ainsi nous ne pouvons pas nous dispenser de chercher les principes généraux qui doivent être suivis dans leur intégration, pour que l’effet de ces mêmes variations soit compris dans l’expression complexe des coordonnées de la Lune.

Principes généraux pour avoir égard aux variations séculaires des élémens de V orbite de la Lune dans le développement et V intégration des équations différentielles du second ordre.

1 96. M. de Laplace a traité le premier cette question dans le second volume des Mémoires de l’Institut de France publié en 179-, et il a trouvé les premiers termes du mouvement séculaire du nœud , du périgée et de la longitude. Cependant son analyse comprenait aussi les variations semblables qui peuvent affecter l’excentricité et l’inclinaison de l’orbite. Il n’y a nul doute que les variations de ces deux élémens seront éternellement insensibles , si la gravitation universelle est l’unique force qui trouble le mouvement des corps qui circulent autour du Soleil. Mais une théorie doit attacher autant d’importance à la valeur absolue des quantités qu’à la forme des expressions algébriques par lesquelles elles sont représentées. Or, en considérant sous ce dernier point de vue les formules trouvées par M. de Laplace, nous avos remarqué avec surprise qu’il a été conduit à ce principe.

2 3o théorie du mouvement de la lüne.

savoir cc que l’excentricité de l’orbe lunaire et son inclinaison à » l’écliptique vraie sont assujetties à des variations séculaires propor - » tionnelles à celle de la parallaxe » (Voyez page 174 du second volume des Mémoires de l’Institut). Ce qui revient à dire qu’il y a dans l’expression de e et y un terme du quatrième ordre de la forme Ame*. Nous avons trouvé, au contraire, dans le paragraphe précédent que d’après nos équations l’existence d’un tel terme est inadmissible.

En réfléchissant sur les différens points de l’analyse par laquelle M. de Laplace lie les deux variables y et ô par l’équation

et les deux variables e et ai par l’équation semblable

(Voyez pages 1 65 et 17 1 du second volume des Mémoires de l’Institut) nous croyons en avoir découvert le vice dans une espèce de double solution dont est susceptible le problème suivant, lorsqu’on le considère isolément.

197. Supposons d’abord qu’il soit question d’intégrer l’équation unique + Pysin(? ô) = o ,

où P, y sont deux fonctions de v données explicitement composées de quantités constantes et de termes périodiques qui varient avec une excessive lenteur ; et que 6 contient une première partie constante, une seconde proportionnelle à v, et une troisième composée de termes périodiques croissant pareillement avec une excessive lenteur.

La solution directe de ce problème est fournie par la formule générale rapportée dans le n.° 37 , de sorte que l’on a

s = cosvJ'Py sin{y — ù) sin v dv — sinvj' P y $in(y — ô) co s v dv .

Donc , en faisant pour plus de simplicité