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c et c' désignant des quantités constantes. Il est aisé de sentir que l’on tomberait dans des erreurs assez graves , si l’on voulait appliquer ces deux formules à une question qui exigerait la valeur absolue des deux intégrales doubles > fj yacfoa, dans lesquelles e et y

représenteraient respectivement l’excentricité et l’inclinaison de l’orbite de la Lune considérée comme une ellipse variable.

2o5. Les deux fonctions de e et y, désignées par /(e, y) , i|/(e,y) , que nous venons d’introduire dans l’expression de u et les trois équations (A), sont, dans le fond, deux facteurs constans fort peu différens de l’unité, et on aurait pu les comprendre, le premier dans a, et le second dans a . Mais on a préféré de laisser ces facteurs en évidence, pour les déterminer ensuite de manière que les premiers termes des coordonnées polaires aient une forme semblable à celle qui a lieu pour le cas fort simple, où l’on suppose nulles les forces

perturbatrices. Il n’y a en cela aucun anvantage réel, on pourrait même ajouter que, pour rendre l’intégration plus directe, il conviendrait de s’abstenir d’une telle transformation. Il est clair en effet que les quatre quantités /(e, y) , /)> a> a, sont dans le cas actuel

toujours réductibles à deux , puisque les deux termes de la fraction ^ sont inséparables aussi bien que les deux termes du produit craiip(e, y). Cependant nous avons adopté le principe de remplacer la quantité qui tiendrait la place de i par une autre de la forme , et de substituer cra^e, y) à la lettre h % afin de construire des formules qui soient plus immédiatement comparables avec celles publiées antérieurement sur cette théorie.

Au reste le principe fondamental dans cette transformation consiste dans l’équation

analogue à celle qui auparavant était désignée par A ' B = o. C est par son moyen que l’on détermine a par une expression de la forme

ï = fond, (a, e, y, e', y),

et que l’on reconnaît aussitôt que l’intégrale doit renfermer

une équation séculaire dépendante de l’intégrale du carré de l’excentricité du Soleil. Il est assez singulier que l’équation À B = o n’ait pas été d’abord désignée comme renfermant en elle-même la véritable cause de l’existence de l’équation séculaire de la Lune. Si 1 on veut considérer pour un moment l’importance que cette circonstance donne à l’équation

on excusera la longueur des détails dans lesquels nous sommes entrés pour faire voir clairement à quoi tient son origine et le mode de sa formation.

206. Reprenons maintenant l’équation différentielle du second ordre en u pour la considérer sous un autre point de vue , et expliquer une autre difficulté qui n’a pas été développée plutôt, parce qu’elle ne touchait pas le fond des principes généraux exposés jusqu ici dans ce paragraphe.

Supposons l’équation (1), posée dans le n.° 201, satisfaite, et voyons ce qu’on doit faire à l’égard de l’équation (2) définie dans le même numéro. Si cette dernière avait effectivement la forme

^ - u- 2 tfços (aP +0) = o,

on aurait en intégrant

u = 2-5-^ — cos(oa> ■+■ f3) ; a — 1 v

ce qui revient à dire qu’il suffit de changer les coefficiens U en i •

Il est clair que ce changement augmente d’autant plus les coefficiens désignés par U que la quantité a diffère peu de l’unité. Et comme il y a quelques argumens dont le coefficient a est excessivement peu différent de l’unité, on pouvait croire que le coefficient Z7, correspondant à ces argumens, devient fort considérable en acquérant le diviseur oc2 — 1. Mais il est essentiel d’observer que cette circonstance cesse d’avoir lieu , en se rapprochant davantage de la forme de l’équation différentielle qu’il s’agit d’intégrer. Pour arriver par degrés à cette dernière, considérons un autre cas hypothétique.

Supposons qu’il soit question d’intégrer l’équation

^ -4- u •+■ m2f(u) ■+■ ITT»2 2 U cos (ap ■+■ j3) = O ;

ap '

m étant un coefficient fort petit.

Il est censé que l’on sait d’avance que la valeur de u qui doit être substituée dans f{u) se compose de deux parties représentées par et que l’on peut supprimer la fonction de

sorte que

(3) . . . ^ h- Sa -+• m2f(p ■+■ Su) ■+■ m2 2 U cos (ap ■+■ f3) = o est la véritable équation qu’il s’agit d’intégrer.