CHAPITRE SECOND

En développant la fonction f(p + Su) suivant les puissances de Su, nous aurons

f(p Su) = f(p) ^f'(p)Su •+■ f"(p) ■+■ etc.

Actuellement imaginons que l’on a développé le coefficient /'(/?) de Su dans une suite de termes périodiques, et que k soit le premier terme de ce développement, c’est-à-dire la somme de tous le termes non périodiques.

Par ce moyen l’équation différentielle précédente prendra la forme (4) . . . o = -j^r- ■+• (1 ■+■ rnk) Su ■+■ ma2 U* cos {cas? h- J3)

■+■ rn Q Su -h m Q\Suy •+• etc.

Cela posé , si Fon remarque que les termes principaux de la valeur de Su sont donnés par la fonction explicite de p représentée par 2 U'cos(w •+■ fî) , on en conclura qu’en supprimant d’abord la fonction inconnue rriQ Su •+■ rrfQXSu)* -+■ etc. , on a

Su = ma2- 5 - - - 3 -rcos(<xv ■+■ 6).

Donc, en supposant le coefficient a réductible à la forme a = I ■+■ brn , on aura

a 1 — m k = 2.bnil -+■ 6am31 — ma& ;

et par conséquent l’ordre du coefficient £7' ne pourra jamais s’abaisser que de deux unités, tout au plus, en acquérant le diviseur aa— 1 — rnk. Car le nombre désigné ici par k est par sa nature de l’ordre zéro. Telle est la cause qui détruit la possibilité d’un abaissement de l’ordre £, lorsque l’exposant i est plus grand que deux.

Il n’y aurait que le cas très-particulier de i = 2 et 2b = k , qui ferait exception , puisqu’alors le coefficient Z7' s’abaisserait de quatre unités en acquérant le diviseur aa ~ i -ni3k = - m\

Si Ion n avait pas précisément 26 = mais que la différence 2 b — k fut un nombre absolu très-petit, on 11e pourrait plus estimer Tome I. 3a

25o THÉORIE DU MOUVEMENT DE LA LUNE.

l’accroissement de par rapport à U', d’après la simple

considération de l’abaissement de deux unités dans 1 ordre du coefficient ü\

207. Si l’on suppose i plus grand que 2 , et b une petite fraction, on pourra négliger 2 brn par rapport à mk. Alors le terme de lu qui appartient à une telle valeur de a devient

la — — -y cos (ap •+■ J3) ;

de sorte que, à l’égard de ces argumens, on a l’équation identique rrfhlu *+• m U' cos(ocv h- fî) = o.

Voilà pourquoi, même en supposant qu’on a laissé 1 équation (4) sous la forme

o = h- 2 U1 cos (ap •+■ J3) ,

il est permis de supposer nulle la somme des termes qui composent le coefficient ü' dans les cas particuliers où le coefficient a est excessivement peu différent de l’unité. C’est d’après cette remarque qu’on peut se rendre raison de l’équation

o = 5(i - art 18)^ + (5 -4- m)4(I9),

que l’on voit rapportée dans la page 217 du troisième volume de la Mécanique céleste.

La complication du sujet rend cette explication nécessaire : autrement on pourrait penser que l’équation précédente n’est qu un artifice de calcul, imaginé pour faire disparaître l’absurdité qui naîtrait de l’intégration directe de l’équation

- / ' O m f r fl / / 1 .

4 m l ~ecos(v~mv+crnv-& )

-+■ etc.