CHAPITRE SECOND

d’après le principe général, qu’il faut diviser le coefficient de cet argument par (i-m + c'mf-i (Voyez pages 209-2 n du troisième volume de la Mécanique céleste).

208. Considérons maintenant le cas où il s’agirait d’intégrer une

équation de la forme

(5) . . . + -4-m2 2é7cos(w-*-J3) = o;

/ désignant un coefficient beaucoup plus petit que m\ C’est àpeu-près& ce qui a lieu lorsqu’on ajoute à l’action du Soleil les termes dus à la figure de la Terre. -Supposons que l’on ait d’abord intégré cette équation en posant // = o. Après cela , on restituera la fonction <p(a) qui avait été supprimée, et on imaginera que q ■+■ Su soit la valeur complète de u , q étant la première.

En développant <f> (q ■+■ Su) , ou aura

<p(q Sa) = <p(q) •+■ (p'(q)Su ■+• etc.

et l’équation (5), en négligeant les termes multipliés par //Su, prendra cette forme

*4- u mf(u) •+• f/<p(q) Z7 co.s(w ■+■ /3) = 0 .

Donc, en réduisant <p(ç) dans une suite de termes périodiques, et posant (p(q) — 2Hcos(iv -+- /) ,

on aura

j/ 2 - — - rr ■+■ Z)

pour la suite correspondante de termes qui doivent être ajoutés à la valeur primitive de u désignée par q. Voilà le principe général. Cependant il y a un cas particulier dans lequel cette approximation ne serait pas suffisante.

Eu effet supposons le coefficient i très-peu différent de l’unité , et admettons que le même argument iv ■+■ l puisse être réproduit par le développement de la fonction f(u), lorsqu’on la développe en tenant compte des termes multipliés par // qui eutrent dans l’expression complète de u.

Représentons par

Su = jj? GXcos(iv ■+■ Z)

ce terme spécial de la valeur de m, et regardons G comme un coefficient inconnu , et X comme le facteur connu par la forme même du coefficient L En développant (p(q ), on aura un terme de cette forme

( p(q ) = G' Xcos(iv -+■ Z),

G' étant un coefficient censé connu . Et en développant f(u) on aura nécessairement un terme de la forme

f(u) = jj? G MX cos (iv h- Z) ;

où M est un facteur censé connu.

Gela posé, l’équation (5), en y considérant seulement l’argument iv l dont il est ici question , donnera un résultat de cette forme

o = -y^r- + (i+ tïi k ) Su *+• (m?jj?G M h- JJ? G') X cos ( iv h- Z) .

Mais, par hypothèse , cette équation doit être satisfaite en prenant

Su = jj? G X cos(iv ■+■ Z) , et par conséquent -^-??——ijj?GXcos(iv^l)\ partant l’on a

Ainsi , en faisant i = i •+• bm*9 nous aurons

a6 m* -+*■ b'nf* — m?(Jc A/)

et par conséquent

G'ua

Su = -7—1 - 73 — ïx” - 777 - =7- ACOs(ÎP Z).

2b m b rn — m (k M) v '

Donc, en supposant la quantité M" comparable avec &, il est possible que la différence 2 bm* M) soit beaucoup plus

petite que ibm ^b^m6 — mh. Alors le calcul du coefficient G de