CHAPITRE TROISIÈME

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fonction X en termes périodiques; alors la valeur de ~ sera com-

posée de l’unité suivie par une série de termes périodiques. Cela posé, écrivons la valeur précédente de dt sous cette forme

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et rappelons nous que, conformément à l’analyse exposée dans le paragraphe précédent, on peut regarder comme arbitraires les deux constantes représentées par les fonctions f(e , y) , \p(e , y). D’après cela , rien n’empêche de supposer

ce qui rapproche la forme de l’expression de dt de celle qui a lieu dans le cas où l’on suppose nulles les forces perturbatrices, du moins en faisant abstraction des deux facteurs qui sont explicitement fonction de la force perturbatrice. Mais 011 peut rendre ce rapprochement plus intime, et simplifier en même tems le second membre de l’équation (6), en faisant

Alors les équations (8) et (9) donnent

et il s’agit de déterminer la valeur de À.

214. Pour cela remarquons d’abord que dans le développement de la fonction X il n’y a que les termes compris dans la série

( 1 *+• 5^) ~ 1 4- 3e2( 1 + $ *)“ 3 cos3(cp - fndv) •+• Se\ 1 4- s*)*0 cos4(a> - Jndv) «+- etc.

qui peuvent donner une partie non périodique. Ensuite observons que pour avoir la valeur cherchée de \ il suffit de prendre la partie constante fournie par le développement des puissances paires de co$(cv —J?zdv).

Donc, en désignant par b- le terme non périodique qui se trouve dans le développement de (i étant un nombre entier),

nous aurons

x v . f “i 2/ 2 \ 2 / Ai 2 \ 2 / \ 2 /

(io)....A = b*leb^ - - - eb,->-

g b ■+■ etc.

Cela posé, si l’on remarque que l’on a

i h- 5* = ï ■+■ 2- — ^ cos(2gv — -iflav) ,

ou bien

i*.,*- (WpJULj* (ÛlïflZL )- 1(1/^,) fcfc) ;

et par conséquent

( !■«;)“ = ("/(rrl)~ 21 \ 1 *(££££)*■

on en conclura que d’après la formule (6) donnée dans la page 276 du second volume des Exercices de calcul intégral de M. Legendre l’on a

Il est maintenant facile de former la valeur de A avec le degré d’approximation que l’on jugera convenable. Il est d’ailleurs évident que cette valeur devient fort simple en supposant 7 = o; ce qui donne

bt = 1 ; et par conséquent A = (1 — e2) 2.

21 5. Si l’on développe les fonctions

l’on aura

en posant pour plus de simplicité