CHAPITRE TROISIÈME. I

sin p 5 Oso £ — 0 («'— I— 5) p 00"— *— 5)‘^5 «* )

cos ' î- O'-O (*•'-*- sy £ J

220. Comme f(y) représente ici une fonction périodique de v , il reste à développer les fonctions s**s suivant les puissances de rnf'Çy'),

afin de pouvoir obtenir la valeur de ^ J7 (y — *>')■+■ i(c' v' — x ) ] exprimée

par une suite de termes périodiquès. On exécutera cette transformation au moyen de la série

smj a -4- 13 mf(y) J = sin « •+■ (3 m cos « »J\y) — -p- sin « ,f~)

-Y^-cosa-fîÿ) ■4 etc*

après que l’on aura trouvé la valeur de f{y)-

Mais en cela 1 on sera favorisé par une circonstance qu’il est impoitant de remarquer. En effet la série précédente procède suivant les puissances de mf(y) , où m désigne une fraction que nous regardons comme une quantité du premier ordre. Donc il suffit que la valeur de f{y) soit développée jusqu’aux quantités de l’ordre i— i pour qu’il soit possible de développer sin { a -+. p mf(y) } jusqu’aux quantités de l’ordre i inclusivement. Or cela est effectivement suffisant dans une théorie qui, comme celle-ci, donne les résultats cherchés par une suite d’approximations successives.

Pour mieux développer cette idée , imaginons que l’on a partagé f(y) en deux parties ? dont la seconde est inconnue,

mais d un ordre supérieur à la première au moins d’une unité. Il est clair qu’en laissant f" (y) sous les signes périodiques l’on aurait sm j « 4- m $f(y) | = sin j a-+-p mf (y) j -+- m (V) cos \ cl m (v>) |

— cos\*Jr m j 3/" (y) | — eic.

Donc, en supposant d’abord /"(V) = o, et développant ensuite en termes périodiques la série

sin « -+- (3 mf (y) cos a — —y~jT(v) cos a etc. ,

il n'y aura qu'à remplacer « par a -4 dans le résultat ainsi trouvé , pour en conclure la valeur de la série précédente. Parvenu au point où ce changement sera nécessaire , l'on connaîtra déjà une portion de f” (y): ainsi l'on pourra faire sortir cette portion des signes périodiques , et continuer indéfiniment ce mode de développement par cette espèce de bissection de la fonction représentée par f(y).