DISCOURS PRÉLIMINAIRE

La Théorie du mouvement de la Lune exposée dans cet ouvrage dérive du seul principe de la gravitation universelle , et n’emprunte de l'observation que les données indispensables, c’est-à-dire les constantes arbitraires du problème. Les trois coordonnées de cet astre , dont la formation pour un temps indéfini constitue le but que l'on veut atteindre, se trouvent, en dernière analyse , exprimées par des fonctions littérales et explicites, qu'il a suffi de réduire en nombres pour obtenir les coefficiens des inégalités immédiatement comparables avec le résultat des observations astronomiques.

Les inégalités de la longitude vraie renferment toutes celles qui peuvent se trouver dans son expression , depuis les quantités du premier ordre jusqu’à celles du cinquième ordre inclusivement : c’est là le terme de l'approximation , généralement parlant. Mais on a poussé plus loin le développement des coefficiens, qui , eu égard à la lenteur de la convergence des séries par lesquelles ils sont exprimés, exigent la considération des quantités d un ordre supérieur au cinquième. Telle est la raison de

l’inégalité que Ton voit régner dans dette théorie , relativement au maximum de l’ordre jusqu’auquel les coefficiens ont été développés. C’est ainsi , par exemple , que le coefficient de l’équation séculaire de la longitude a exigé la considération des quantités du septième ordre.

Newton , à faide de l’analyse mathématique, a pu déduire aisément des phénomènes généraux et simples la loi de la gravitation de la matière , qui par son universalité et l’égalité de son action atteste funité du plan de l’univers; mais l’application spéciale de cette loi aux effets très-composés qui ont lieu dans le mouvement des satellites entraîne à des calculs immenses. Ces calculs sont remarquables par la variété et par la finesse des considérations que leur exécution demande, pour saisir la totalité des termes qui demeurent sensibles après les intégrations , et pour concevoir par quelles combinaisons s’opère la destruction plus ou moins complète de ceux qu’on croirait sensibles d’après un examen moins approfondi.

Chaque coefficient des inégalités lunaires peut être considéré comme une fonction éminemment transcendante des constantes arbitraires, qu’il est impossible de présenter sous une forme finie, indépendamment du signe intégral. Et cela ne paraîtra pas surprenant, si l’on réfléchit que plusieurs questions infiniment plus simples, sont, à cet égard, dans un cas semblable. On ne peut donc connaître que par leur développement les fonctions, à l’aide desquelles on veut exprimer le mouvement de la Lune, soumise à faction simultanée de la Terre et du Soleil. La méthode des approximations successives peut, seule , fournir ces développemens par un procédé uniforme dans sa marche, et mettre en évidence les différentes parties du premier, second, etc. ordre, qui appartiennent aux fonctions ainsi développées.

La solution du problème perd par là le caractère inhérent aux solutions en termes finis; mais elle ne cesse pas de demeurer strictement littérale, et d’être applicable même dans les cas où des causes accidentelles changeraient sensiblement, entre certaines limites , les élémens actuels de l'orbite de la Lune. Certes , rien n’autorise une telle hypothèse ; mais . en opérant comme si elle pouvait se réaliser dans les siècles à venir , on • imprime à la solution du problème des trois corps un caractère plus subordonné à la doctrine des séries. Par là on obtient non-seulement les résultats qui peuvent satisfaire aux besoins actuels , mais on acquiert en outre des connaissances plus étendues sur le mode de leur liaison avec les élémens dont ils sont fonction. De là dérive aussi l'avantage non moins précieux de pouvoir mesurer le degré de convergence des différentes séries, qui, réduites en nombres, fournissent les coefficiens cherchés, en offrant, par leur gradation même, un moyen simple pour estimer avec assez de justesse la partie négligée.

La méthode que nous avons suivie pour déterminer les coefficiens des inégalités lunaires est analogue, sous un certain point de vue, à la méthode exégétique que Viète demandait pour trouver, par des opérations successives, toutes les pallies de chaque racine d'une équation algébrique. Newton , sans abandonner la condition d’une solution purement littérale, a donné pour cet objet une règle connue sous le nom de parallélogramme analytique , qui fut ensuite démontrée et simplifiée par Lagrange. Cette même méthode a été reprise, perfectionnée, et étendue par 1 illustre Auteur de la Théorie de la Chaleur. Cependant on ne peut se dissimuler que, dans la théorie des courbes (pour laquelle cette méthode a été inventée) il y a une circonstance qui , en général , lui procure un avantage. Ici } la

lettre qui règle le développement étant l’abscisse, n’est pas un paramètre proprement dit, et on peut aisément lui donner des valeurs convenables pour la convergence des séries : mais en appliquant la même méthode à une équation littérale, renfermant une seule inconnue , on aurait souvent un développement illusoire , sans un choix préalable du paramètre par rapport auquel il convient de développer la racine qu’on aurait en vue: et ce choix est en lui meme un problème difficile.

L'idée du développement des fonctions est d’une fécondité inépuisable. L’opération de la division algébrique en offre le premier exemple ; et c’est en l’approfondissant que Newton et Leibnitz ont ouvert une carrière immense aux applications de l’analyse mathématique. Le principe radical sur lequel tous les développemens reposent, tire son origine de l’axiome, que toute quantité peut être partagée en deux parties d’une infinité de manières. En arithmétique, le parti qu’on en peut tirer est fort borné; mais en transportant le même axiome dans l’algèbre, il prend un caractère imposant par le contraste entre les formes des deux parties qui composent le total. Ici, les opérations sont diversifiées, et peuvent être conduites de manière que, au lieu de choisir arbitrairement la seconde partie , on tâche de la rendre fort petite en comparaison de la première : et , par des artifices convenables , on s’efforce d’exprimer celle-ci par une suite de termes dont la succession est réglée par une loi plus ou moins difficile à saisir. Alors, la seconde partie qui constitue ce qu’on nomme le reste de la série, peut être rendue inférieure à une limite donnée; et comme telle, tout en conservant dans son plein la difficulté intrinsèque qui empêche d'exprimer la fonction sous forme finie , elle rend nulle l’influence de cet obstacle, en la faisant tomber sur des quantités qu'il est permis

de négliger. C est ainsi que le périmètre d’un polygone régulier peut être pris pour le périmètre du cercle circonscrit, dès que Ion permet de négliger les quantités décimales d'un rang déterminé.

Si les restes des fonctions transcendantes ne peuvent pas disparaître lorsqu on les considère isolément, il importe d'observer qu il n’en est pas ainsi à l’égard de leurs combinaisons, faites par voie d’addition, ou autrement. Les exemples de combinaisons de fonctions transcendantes susceptibles d'être exprimées sous forme finie, à l’aide de quantités transcendantes d'un ordre inférieur et de quantités algébriques, sont fréquens dans les recherches d analyse pure. Les transcendantes elliptiques offraient déjà des exemples fort remarquables des réductions de ce genre; mais le théorème découvert dans ces derniers temps par M. Abel en offre un exemple éminemment frappant, qui ouvre une carrière nouvelle aux recherches sur le calcul intégral. C’est ainsi que Viète et Harriot , dans le i 6.èmc siècle, ont reculé les bornes de la théorie des équations algébriques par la découverte de leurs théorèmes sur la composition des coefliciens.

La nécessité d’avoir séparément les coefliciens des inégalités lunaires , jointe à la complication des équations composées d’un nombre infini de termes , par lesquelles ils peuvent être liés ne permet pas , dans l’état actuel de la science , d’imiter les beaux exemples qu’on vient de citer, lorsqu’on veut en tirer un parti réel sans être séduit par des idées trop spéculatives. Après avoir erré dans les régions sublimes de l'analyse, après avoir heurté contre les écueils qui échappaient à la vue par leur éloignement, on se voit contraint de replier son imagination, fatiguée par ces efforts inutiles, sur les principes élémentaires de la science, pour y trouver des moyens d’exécution, qui, par

leur simplicité meme , ne soient pas arrêtés par les opérations qu’ils laissent indiquées. Alors on découvre peu-à-peu, que la difficulté réelle de la théorie de la Lune tient a 1 excessive complication du sujet , et on regarde comme une faveur de la fortune, attachée à la disposition actuelle du système solaire, la possibilité d’un développement effectif des coefficiens des inégalités lunaires par des symboles purement algébriques et convergens. Un examen plus approfondi fait ensuite connaître que, même avec cette limitation, on a des obstacles assez considérables à surmonter, lorsqu’on s’impose la condition de déterminer , avec la précision mathématique , les coefficiens numériques absolus qui affectent les quantités littérales. Ces coefficiens sont une conséquence nécessaire du principe même de la pesanteur universelle: à leur égard, l’idée d’une approximation ne peut pas être tolérée, puisqu’on sait qu’ils sont composés d'un nombre fini de parties rationnelles , résultantes du nombre plus ou moins grand de combinaisons entre lés argumens, susceptibles de les produire relativement à chacun des termes pris en considération. Il est vrai qu’ici la possibilité démontrée d’avoir ces nombres mathématiquement , est , en quelque sorte, combattue par la difficulté d’une exécution qui croît à mesure que l’on passe d’une approximation à la subséquente. Mais il n’y a là rien de surprenant pour ceux qui ont réfléchi sur la puissance et sur la faiblesse de l’analyse mathématique : ils auront remarqué, que la plupart des problèmes de l’astronomie physique présentent des difficultés d’exécution qui en ont souvent rallenti les progrès. La recherche de l’expression du mouvement du périgée lunaire en offre un exemple frappant. La première approximation a pu suffire à Newton , pour avoir le mouvement progressif du noeud; mais elle était absolument insuffisante pour

celui du périgée. Au lieu de passer à la seconde, sans être retenu par la difficulté de l’exécution, plusieurs Géomètres se sont jétés dans bien des recherches divergentes. Enfin Clairciut fit cesser les doutes, en montrant la grandeur absolue du second terme de ce mouvement. Le problème des inégalités séculaires des planètes est un des plus simples, sous le rapport de la conception des termes périodiques qui représentent les intégrales complètes des équations linéaires, dont sa solution dépend. Cependant on n’ose pas l’attaquer de front , à cause de la complication inhérente à la formation d'une équation algébrique d'un degré égal au nombre des planètes, dont il faudrait déterminer numériquement les racines. L'incertitude actuellement existante sur la valeur des masses des planètes peut justifier en partie cette lacune laissée par les Géomètres dans l'astronomie physique. Mais si l'on songe qu'il s’agit de fonctions du temps dont la période embrasse un très-grand nombre de siècles, on sentira naître en soi un vif désir de suppléer à la brièveté de la vie par un travail qui pourrait déjà satisfaire , jusqu'à un certain point, la noble curiosité des contemporains. Une foule de questions d’analyse pure présentent des obstacles analogues ; mais leur existence arrête rarement les applications aux sciences physico-mathématiques.

Après la citation de ces exemples , je me hâte de faire observer (pour prévenir les objections), que bien souvent, les obstacles qui se rencontrent à la naissance des théories mathématiques , tiennent moins à l’exécution des calculs qu'à la juste définition de ceux qu’il faudrait entreprendre. Le calcul des différentes réductions qu'on doit appliquer aux longueurs observées d'un pendule composé pour être ramenées à l étal idéal d'un pendule simple isochrone oscillant dans le vide au

niveau de la mer en offre un exemple digne de la méditation des Géomètres philosophes. Dans les théories de Physique mathématique sur-tout, l'introduction de toutes les forces qui concourent à la production des phénomènes constitue la principale difficulté, sans parler de celles qui tiennent au calcul intégral qu’il faut souvent envisager sous un nouveau point de vue. S’il fallait produire une preuve de cette vérité, nous la trouverions dans la gradation des pas franchis par Clairaut , Laplace et Poisson pour établir solidement la théorie de l’action capillaire. La loi de la gravitation n’a point ces difficultés; les équations différentielles qui renferment les lois spéciales des phénomènes sont faciles à former; mais la déduction effective de ces lois, quoique réglée incontestablement par des fonctions circulaires , devient , au de là des premiers termes , difficile à découvrir par l’espèce d’action et de réaction qui existe entre les argumens et les coefficiens des inégalités à longue période. Ici , les séries se ramifient de plus en plus à cause de rabaissement d’ordre produit par les intégrations, et leur enchaînement n’est pas moins indestructible que l’existence de ces mêmes argumens.

Les théories de la Lune publiées jusqu’ici n’offrent pas une expression littérale et explicite des trois coordonnées : elles portent toutes le caractère d’une solution qu’on pourrait appeler mixte, en réfléchissant qu’on y procède par des opérations algébriques entrelacées avec des opérations arithmétiques ; où les quantités numériques absolues se trouvent enveloppées avec les valeurs spéciales des constantes arbitraires. Outre cela, on ne peut pas dire, à la rigueur, que l’approximation ait été conduite de manière, que les coefficiens y sont exacts dans les quantités d'un ordre déterminé; du moins au de là du troisième ordre.

généralement parlant. Les preuves de cette assertion se déduisent des résultats memes de ces théories, en les ramenant à la forme précise que nous avons adoptée. Alors on voit souvent des différences entre les coefficiens numériques absolus qui disparaissent par un examen fait avec soin sur les différentes parties qui concourent à leur formation; et cela, en dévoilant l’omission de celles résultantes du développement de quelques termes du même ordre et de la même forme que ceux qu’on a conservés. Nous avons donné plusieurs exemples de comparaisons de cette espèce dans le cours de cet ouvrage; et il faut en examiner les détails pour se persuader de leur justesse. Notre but, dans ces comparaisons, a été de faire voir seulement, que le principe , par sa nature inviolable, de tenir compte de toutes les quantités du même ordre n’a pas été toujours suivi; et que par fois , on s’en est affranchi en commettant l'inconséquence de conserver des termes plus petits que ceux que 1 on avait négligés. Mais nous admettons que, non obstant de pareils défauts, il est possible , que , par des heureuses compensations , on soit tombé sur des résultats sensiblement d’accord avec l’observation. Car on sait bien, que les erreurs de ce genre seront considérablement atténuées après la réduction en nombres des facteurs qui conservent naturellement la forme littérale jusqu à la fin de l’intégration. Mais cela n'empêche pas , que leur existence ne soit un motif suffisant pour rendre la solution plus ou moins contraire à la doctrine des séries , et faire attribuer le succès à des relations fortuites entre les grandeurs données par l’observation.

Un moyen efficace que nous avons employé pour soustraire notre théorie à l’influence de ces erreurs faciles à commettre dans une recherche aussi compliquée , fut celui de développer sans

cesse les diviseurs qui naissent de 1* intégration, et d’arrêter les produits des différentes fonctions là où les termes subséquens seraient d’un ordre supérieur à celui que l’on considère. Alors , on peut effectivement sommer un fort grand nombre de termes de la même espèce et par là diminuer la complication. Mais il est possible que l’application trop réitérée d’un tel principe ait en lui-même l’inconvénient de diminuer la convergence des séries. Sur cela nous n’avons rien à opposer. Nous accorderons sans peine qu’il est possible de présenter les coefficiens des inégalités lunaires par des fonctions des élémens sous une forme différente de la notre, qui aurait l'avantage de les rendre plus convergens , tout en demeurant dans les quantités du même ordre. C’est ainsi, par exemple, que la fonction Log. (i+x) existe développée sous les deux formes